Question

lim x^2+x-6/x-2 x->2

Answer 1

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}$

Vamos escrever o numerador em função de suas raízes (todo polinômio pode ser escrito em função de suas raízes)

Para isso, encontraremos as raízes de $x^{2}+x-6$

$\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\times1\times(-6)=1+24=25\\\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2\times1}=\dfrac{-1\pm5}{2}=\begin{cases}x_{1}=\dfrac{-1+5}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\\\x_{2}=\dfrac{-1-5}{2}=-\dfrac{6}{2}=-3\end{cases}$

Então, $x^{2}+x-6=(x-2)\times(x-[-3])=(x-2)(x+3)$ (verifique!)

Substituindo no limite:

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}$

Como estudamos $x\neq2$ no limite, podemos cancelar $x-2$, pois $x-2\neq0$ se $x\neq2$

$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}\\\\\\\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}(x+3)\\\\\\\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}=2+3\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}=5}}$