Question

1 - Em um paralelogramo ABCD, M (1,-2) é o ponto de encontro das diagonais AC e BD. Sabendo que A (2,3) e B (6,4) são dois vértices consecutivos. Uma vez que as diagonais se cortam mutuamente ao meio, determine as coordenadas dos vértices C e D.

2 - Sabendo que as coordenadas do baricentro (ponto de interseção de suas medianas) de um triangulo de vértice A (Xa, Ya), B (Xb, Yb) e C (Xc, Yc) são dadas por G (Xa+Xb+Xc/3, Ya+Yb+Yc) determine as coordenadas do baricentro do triangulo ABC cujo vértices são A (1, 3); B (2, 1) e C (0, 8).

Me ajudem por favor!! Desde já agradeço.

Answer 1

1) O ponto M é o ponto médio entre os vértices (AC, BD) onde todas as diagonais se encontram no paralelogramo. (figura 1) 
Ou seja:
$\displaystyle x_M=\frac{(x_A+x_C)}{2}~~~(1)\\\\y_M=\frac{(y_A+y_C)}{2}~~~(2)$
assim como:
$\displaystyle x_M=\frac{(x_B+x_D)}{2}~~~(3)\\\\y_M=\frac{(y_B+y_D)}{2}~~~(4)$
Dessa maneira podemos encontrar as coordenadas de C e D.

Coordenadas de C
dados:
$\displaystyle x_M=1\\x_A=2\\x_C=?$
substituir na fórmula (1) para encontrar a coordenada x de C:

$\displaystyle i)~~~~1=\frac{2+x_C}{2}\\\\ii)~~~2+x_C=2\\\\iii)~x_C=2-2\\\\iv)~\boxed{x_C=0}$

com os dados:
$\displaystyle y_M=-2\\y_A=3\\y_C=?$
substituindo na fórmula (2):
$\displaystyle i)~-2=\frac{3+y_C}{2}\\\\ii)~~~3+y_C=-4\\\\iii)~~y_C=-4-3\\\\iv)~~\boxed{y_C=-7}$
as coordenadas de C estão na segunda figura:
$C=(0,-7)$

Coordenadas de D
Mesmo procedimento seguido no caso de C:
$x_B=6\\x_M=1\\x_D=?$
Substituindo em (3):
$\displaystyle i)~~~~1=\frac{6+x_D}{2}\\\\ii)~~~6+x_D=2\\\\iii)~~\boxed{x_D=-4}$

$y_B=4\\y_M=-2\\y_D=?$
Substituindo em (4):
$\displaystyle i)~~~~ -2=\frac{4+y_D}{2}\\ii)~~~4+y_D=-4\\iii)~~\boxed{y_D=-8}$

As coordenadas de D estão representadas na terceira figura:
$D=(-4,-8)$
Veja o paralelogramo na terceira figura:
$C=(0,-7)\\D=(-4,-8)$

2)
O baricentro de um triângulo ABC, são dadas por:
$\displaystyle G=(x_g,y_g)\\\\x_g=\frac{x_a+x_b+x_c}{3}\\\\y_g=\frac{y_a+y_y+x_c}{3}$
o triângulo é dado pelas coordenadas:
$A=(1,3)\\B=(2,1)\\C=(0,8)$ (quarta figura)
e seu baricentro $(x_g,y_g)$:
$\displaystyle i)~~~~x_g=\frac{1+2+0}{3}\\\\ii)~~~x_g=\frac{3}{3}\\\\iii)~~\boxed{x_g=1}$
$\displaystyle i)~~~~y_g=\frac{3+1+8}{3}\\\\ii)~~~y_g=\frac{12}{3}\\\\iii)~~\boxed{y_g=4}$
logo $G=(1,4)$