Question

Definição: número par é todo número que pode ser expresso sob a forma 2n, com n pertence a Z. Número ímpar é todo número que pode ser expresso sob a forma 2n+1, com n pertence a Z . Prove que: a) Se k é um número par, então k² é um número par. b) Se k é um número ímpar, então k² é um número ímpar.

Answer 1

a) Hipotese: k é par
    Tese: k² é par
DEM.:
 Como k é par, k pode ser escrito como k=2n, com n ∈ Z.
de k=2n, segue que k² =(2n)², daí k²=4n²=2.2n²
Temos então, k²=2.2n², 2n² vai nos dá um novo n, chamamos de n'. 
Daí k²=2.n'
Logo k² é par como queríamos demonstrar. 

b) Aqui vou fazer sem tantos detalhes, mas o processo é igual. 
Hipotese: k é ímpar
Tese: k² é ímpar
Dem.:
          Como k é ímpar, k=2n+1, n ∈ Z
Daí, k²=(2n+1)²=4n²+4n+1=2(2n²+2n)+1
sabemos que 2(2n²+2n) é par, e resultará em um novo n, n*.
Logo k² é da forma 2n*+1, e concluímos que k² é ímpar. 

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