Question

UFRJ - Seja f: R→R uma função definida por f(x)=ax+b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos A (1,2) e B (2,3), a função f-¹ (inversa de f) é ?

a) f-¹(x) = x+1
b) f-¹(x) = -x+1
c) f-¹(x) = x-1
d) f-¹(x) = x+2
e) f-¹(x) = -x+2

Agradeçoo desde já ! ;)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Angels, que a resolução é bem simples.
Tem-se:  Seja f: R→R uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos A(1; 2) e B(2; 3), a função inversa de "f" ( f-¹) será qual?

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se a função f(x) = ax + b passa pelos pontos A(1; 2) e B(2; 3), então vamos logo calcular qual é o coeficiente angular (m) dessa função.
Antes veja que quando se tem que uma função f(x) = ax + b passa pelos pontos A(xa; ya) e por B(xb; yb), então o seu coeficiente angular (m) será encontrado assim:

m = (yb-ya)/(xb-xa)

Assim, tendo-se a relação acima como parâmetro, então a função que passa nos pontos A(1; 2) e B(2; 3) terá o seguinte coeficiente angular (m):

m = (3-2)/(2-1)
m = (1)/(1) --- ou apenas:
m = 1/1
m = 1 <--- Este é o coeficiente angular da função da sua questão.

ii) Agora veja:  Se já se conhece o coeficiente angular (m) de uma função e apenas um ponto por ela passa A(xa; ya), então a sua equação será encontrada assim:

y - ya = m*(x - xa)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a função que passa nos pontos A(1; 2) e B(2; 3) terá a sua equação encontrada assim (veja: basta considerarmos um dos pontos por onde a função passa. Então vamos considerar o ponto A(1; 2) ):

y - 2 = 1*(x - 1)
y - 2 = x - 1 ---- passando-se "-2" para o 2º membro, teremos:
y = x - 1 + 2
y = x + 1 <--- Esta é a função pedida, ou seja: f(x) = x + 1.

iii) Agora como já temos a função da sua questão, que é y = x + 1, vamos tentar encontrar a sua inversa [f⁻¹(x)].
Para isso, siga estes passos a começar pela função acima encontrada, que é:

y = x + 1

iii.a) Troque "y" por "x" e "x" por "y", com o que ficaremos assim:

x = y + 1

iii.b) Agora procure isolar "y". Quando tiver conseguido isso, então a função encontrada já será a inversa. Assim, se temos:

x = y + 1 ---- passando-se "1" para o 1º membro, teremos:
x - 1 = y ---- vamos apenas inverter, ficando:
y = x - 1 <--- Pronto. Esta já é a inversa procurada. Opção "c".

Para poder ficar exatamente igual ao que está nas opções, então vamos substituir "y" pela representação internacional de uma função inversa, que é esta:

f⁻¹(x) = x - 1 <--- A inversa também poderia ser representada desta forma, o que "bate" com a opção "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir. 

Answer 2

Resposta:

f⁻¹(x) = x - 1 <--- A inversa também poderia ser representada desta forma, o que "bate" com a opção "c".