Question

Na circunferência, AB é o diâmetro, AM é o lado do triângulo equilátero inscrito e BN é o lado do quadrado inscrito. Calcule o ângulo "a" (alpha), formado pelas tangentes PM e PN

Não estou conseguindo resolver nenhum exercício desta matéria.. ajudem por favor e obrigada

Answer 1

Boa tarde Ana 

vamos considerar um quadrado ANBN' e um triangulo equilateral AMM' 

os angulos

ANB = 90° (angulo do quadrado)
ABN = 45° (angulo entre lado e diagonal)
MAB = AMO = 60/2 = 30° (bissetriz do triangulo)

BNP = ABN = 45° (angulo alternos)

como PM é tangente  OMP = 90°

ANP = ANB + BNP = 90º + 45º = 135º 
AMP = AMO + OMP = 30º + 90º = 120º 
MAN = MAB + BAN = 30º + 45º = 75º 

135 + 120 + 75 + α = 360
330 + α = 360

α = 30°

Answer 2

considerando raio da circunferência= 1

lado do triângulo equilátero= 2*sen60°= 2√3/2= √3

lado do quadrado= √2

vamos pegar o triângulo AMO e calcular o ângulo em M
AM= lado do triângulo= √3
AO= raio=1
MO=raio=1

usando a lei dos cossenos=
1^2=1^2+(√3)^2-2*1"√3*cosM
1+3-2√3cosM= 1
-2√3cosM=1-4
cosM=3/2√3= 3√3/6= √3/2
M=30° (AMO)

ângulo NAO=45° (ang entre raio e lado quad)

o triângulo NOM é isoceles (PM=ON=1)

no triângulo ANM, o ângulo em A=75° (30+45)
AMO= 30° ANO=45
somando 75+30+45= 150°, falta 30° para 180°, estes 30° estão divididos no triângulo NOM,
onde o ângulo em N=15° e M=15°, concluímos que o ângulo NOM é = 150° (180-2*15)

O ângulo alfa é o suplemento de 150°

Alfa = 30°