Question

Prove que o triângulo cujas vértices são os pontos A(2,-2)B(-3,-1) e C(1,6) é isósceles e calcule seu perímetro

Answer 1

Para que um triângulo seja isósceles, pelo menos dois de seus lados devem ter medidas iguais. Assim, para descobrirmos se o triângulo é isósceles, vamos primeiro descobrir a medida de cada um de seus lados:

$m(AB)=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}\\\\ m(AB)=\sqrt{((-3)-2)^2+((-1)-(-2))^2}\\\\ m(AB)=\sqrt{(-3-2)^2+(-1+2)^2}\\\\ m(AB)=\sqrt{(-5)^2+1^2}\\\\ m(AB)=\sqrt{25+1}\\\\ m(AB)=\sqrt{26}~u.c.$


$m(AC)=\sqrt{(x_c-x_a)^2+(y_c-y_a)^2}\\\\ m(AC)=\sqrt{(1-2)^2+(6-(-2))^2}\\\\ m(AC)=\sqrt{1^2+(6+2)^2}\\\\ m(AC)=\sqrt{1+8^2}\\\\ m(AC)=\sqrt{1+64}\\\\ m(AC)=\sqrt{65}~u.c.$


$m(BC)=\sqrt{(x_c-x_b)^2+(y_c-y_b)^2}\\\\ m(BC)=\sqrt{(1-(-3))^2+(6-(-1))^2}\\\\ m(BC)=\sqrt{(1+3)^2+(6+1)^2}\\\\ m(BC)=\sqrt{4^2+7^2}\\\\ m(BC)=\sqrt{16+49}\\\\ m(BC)=\sqrt{65}~u.c.$

Logo, o triângulo é isósceles, já que temos AC=BC.  $~~\blacksquare$

Para encontrarmos o perímetro (2p), basta somarmos as medidas dos lados:

$2p=m(AB)+m(AC)+m(BC)\\\\ 2p=\sqrt{26}+\sqrt{65}+\sqrt{65}\\\\ 2p=\sqrt{26}+2\sqrt{65}~u.c.\\\\ \boxed{2p=\sqrt{13}(\sqrt2+2\sqrt5)~u.c.}$