Question

Como resolve ? O gabarito é B

Answer 1

Olá Jmblp,

Uma equação irracional é resolvida primeiramente eliminando o radical da incógnita e depois tratando-a como uma equação racional. O primeiro passo é isolar o termo irracional:

$\sqrt{x+7} +5 = x \\ \sqrt{x+7} = x -5$

Agora veja que podemos eliminar o radical dessa equação elevando o seu termo ao quadrado, pois trata-se de uma raíz quadrada. Mas como estamos falando de uma igualdade, devemos também elevar o outro lado da sentença ao quadrado para manter sua propriedade. Observe:

$\sqrt{x+7} = x -5 \\ \sqrt{ (x+7)^{2} } = (x-5)^{2} \\ x +7 = (x-5)*(x-5) \\ x +7 = x^{2} -5x -5x +25 \\ x^{2} -11x +18 = 0$

-x² +11x -18 = 0

Como chegamos em uma equação do segundo grau, podemos resolver ela encontrando seu discriminante:
Δ = b² -4ac
Δ = 121 -4(1)(18)
Δ = 49

As raízes dessa equação quadrática serão x' e x'' para:
x' = (11 +√49)/2
x' = 18/2
x' = 9

x'' = (11 -√49)/2
x'' = 4/2
x'' = 2

Agora que conhecemos as duas raízes da equação, podemos testá-las na equação irracional que tínhamos no começo e verificar a sua igualdade:

Para x = 9:
√(x+7) +5 = x
√(9+7) +5 = 9
√16 +5 = 9
4 +5 = 9
9 = 9

Note que a raíz 9 satisfaz a equação irracional portanto dizemos que ela é uma raiz da equação.

Para x = 2
√(2+7) +5 = 2
√9 +5 = 2
3 +5 = 2
8 ≠ 2

Como a raiz 2 não satisfaz a igualdade, dizemos que ela é uma raiz estranha e não pertence ao conjunto solução.

Portanto, como temos apenas o número 9 como raiz da equação e 9 é um número natural, concluímos que essa equação irracional admite uma raiz natural.

Bons estudos!