Question

Demonstre que em todo triângulo ABC, de perímetro igual a 2p, vale a relação: sen A + sen B + sen C = p/R, onde R é o circunraio.

Answer 1

Sabemos que em todo triângulo de lados a, b, e c de ângulos A, B e C e raio R  da circunferência circunscrita ao triângulo, tem-se:

$\frac{a}{senA}= \frac{b}{senB}= \frac{c}{senC}= 2R$

Em toda proporção a soma dos antecedentes está para soma dos consequentes, assim como qualquer antecedente está para seu consequente.

$\frac{a+b+c}{senA+senB+senC} =2R$

Mas a + b + c = 2p ;( dado no problema)

$\frac{2p}{senA+senB+senC} = 2R \\ \\ 2R(senA+senB+senC) = 2p \\ \\ senA+senB+senC= \frac{2p}{2R} \\ \\ senA+senB+senC= \frac{p}{R}$

Answer 2

Boa noite Guga

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R 

(a + b + c)/(sen(A) + sen(B) + sen(C)) = 2R 

2p/(sen(A) + sen(B) + sen(C)) = 2R

(sen(A) + sen(B) + sen(C)) = 2p/2R = p/R 

demonstração

seja um  triângulo ABC inscrito de raio r.
A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.

como BC é uma corda dos triângulos ABC e BCD temos

angulo A = D

sen(D) = a/2R = sen(A)

logo

a/sen(A) = 2R 
de mesmo modo

b/sen(B) = 2R
c/sen(C) = 2R

assim

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R 


e 

sen(A) + sen(B) + sen(C) = p/R

.