Question

Gente, eu estou muito confuso quanto à essas questões, meu professor passou algumas propriedas e eu tentei tirar dúvidas pesquisando mas não achei casos como essas

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Masamune, que a resolução é simples.
Tem-se as seguintes expressões que vamos chamá-las, cada uma, de um certo "y", apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa:

a)

y = ¹/³√(5⁴/³)

Antes note que: ⁿ√(aˣ) = aˣ/ⁿ.

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a nossa expressão, que é:

y = ¹/³√(5⁴/³)   passará a ser:

y = 5⁽⁴/³⁾/⁽¹/³⁾ ---- note ue (4/3)/(1/3) = (4/3)*(3/1) = 4*3/3*1 = 12/3 = 4. Logo:
y = 5⁴ -------- e, como 5⁴ = 625, então teremos:
y = 625 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b)

y = [(16a¹b⁴)/(-8a²b⁷)]⁻³ ---- vamos logo começar a trabalhar só com o que está dentro dos parênteses, sem ainda nos importar com o expoente "-3".
Note que "16" dividido por "-8" dá igual a "-2". Então vamos logo considerar com esta primeira simplificação, com o que ficaremos:

y = [(-2a¹b⁴)/(a²b⁷)]⁻³ ---- continuando trabalhando com o que está dentro dos parênteses: veja que temos uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Então:

y = [-2a¹⁻²b⁴⁻⁷]⁻³ -------- desenvolvendo, temos:
y = [-2a⁻¹b⁻³]⁻³ ---- agora sim, vamos considerar o expoente "-3". Como todo o produto está elevado a "-3",, então poderemos elevar cada fator a "-3". Assim, teremos isto:

y = [(-2)⁻³.(a⁻¹)⁻³.(b⁻³)⁻³]
y = [(-2)⁻³.a⁻¹*⁽⁻³⁾.b⁻³*⁽⁻³⁾]
y = [(-2)⁻³.a³.b⁹] ---- note que (a⁻ⁿ) = 1/aⁿ . Então vamos ficar assim:

y = [1/(-2)³.a³.b⁹] --- ou, o que é a mesma coisa:
y = [a³.b⁹*1/(-2)³] ----- como (-2)³ = -8, teremos:
y = [(a³.b⁹)/-8] ----- passando-se o sinal de menos (que está antes do "8") para antes da expressão, iremos ficar apenas com: 

y = -(a³b⁹)/8  <-- Esta é a resposta para a questão do item "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

$\sqrt[\frac{1}{3}]{5^{\frac{4}{3}}}=5^{\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}}}=5^{4}=625$

na resolução acima mostra a propriedade de potenciação que diz que todo expoente em forma de fração é uma radiciação e vice-versa.

$(\frac{16ab^{4}}{-8a^{2}b^{7}})^{-3}=\frac{(16ab^{4})^{-3}}{(-8a^{2}b^{7})^{-3}}=\frac{(-8a^{2}b^{7})^{3}}{(16ab^{4})^{3}}=(\frac{-8a^{2}b^{7}}{16ab^{4}})^{3}=(\frac{-1a^{2-1}b^{7-4}}{2})^{3}=$$(\frac{-1ab^{3}}{2})^{3}=\frac{(-1)^3a^{3}b^{9}}{2^{3}}=\frac{-1a^{3}b^{9}}{8}=\frac{-a^{3}b^{9}}{8}$

já essa última mostra que todo número x elevado a um expoente n negativo é equivalente a $x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}$