Question

Encontre o valor de x:

$\dfrac{3+\log _{2}x}{\log _{2}x}+ \dfrac{2-\log _{2}x}{3-\log _{2}x}=\dfrac{5}{2}$

Answer 1

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Resolver a equação logarítmica:

$\mathsf{\dfrac{3 + \ell og_2\,x}{\ell og_2\,x}+\dfrac{2-\ell og_2\,x}{3-\ell og_2\,x}=\dfrac{5}{2}\qquad\quad(i)}$


Faça primeiro uma mudança de variável:

$\mathsf{\ell og_2\,x=t\qquad\quad(t\in\mathbb{R}\setminus \{0,\,3\})}$


Substituindo, a equação (i) fica

$\mathsf{\dfrac{3+t}{t}+\dfrac{2-t}{3-t}=\dfrac{5}{2}\qquad\quad (t\ne 0~~e~~t\ne 3)}$


Reduza as frações do lado esquerdo ao mesmo denominador comum:

$\mathsf{\dfrac{(3+t)\cdot (3-t)}{t\cdot (3-t)}+\dfrac{t\cdot (2-t)}{t\cdot (3-t)}=\dfrac{5}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(3+t)\cdot (3-t)+t\cdot (2-t)}{t\cdot (3-t)}=\dfrac{5}{2}}$


Expanda os produtos que estão no numerador do lado esquerdo:

$\mathsf{\dfrac{(3+t)\cdot 3+(3+t)\cdot (-t)+2t-t^2}{t\cdot (3-t)}=\dfrac{5}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{9+\diagup\hspace{-8}3t-\diagup\hspace{-8}3t-t^2+2t-t^2}{t\cdot (3-t)}=\dfrac{5}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{9+2t-t^2-t^2}{t\cdot (3-t)}=\dfrac{5}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{9+2t-2t^2}{t\cdot (3-t)}=\dfrac{5}{2}}$


Produto dos meios = produto dos extremos:

t · (3 – t) · 5 = (9 + 2t – 2t²) · 2

15t – 5t² = 18 + 4t – 4t²


Reorganizando os termos da equação, e reduzindo os termos semelhantes:

0 = 18 + 4t – 4t² – 15t + 5t²

0 = – 4t² + 5t² + 4t – 15t + 18

0 = t² – 11t + 18

t² – 11t + 18 = 0          (ii)


Agora temos uma equação quadrática. Vamos resolvê-la fatorando o lado esquerdo por agrupamento.

Reescreva convenientemente – 11t como – 2t – 9t, e a equação (ii) fica

t² – 2t – 9t + 18 = 0

t² – 2t – 9t + 9 · 2 = 0

t · (t – 2) – 9 · (t – 2) = 0


Colocando o fator comum (t – 2) em evidência, ficamos com

(t – 2) · (t – 9) = 0

t – 2 = 0    ou    t – 9 = 0

t = 2    ou    t = 9


Agora, substitua de volta para a variável x:

log₂ x = 2    ou    log₂ x = 9


Portanto,

x = 2²    ou    x = 2⁹

x = 4    ou    x = 512    <———   soluções


Conjunto solução:   S = {4,  512}


Bons estudos! :-)


Tags:  equação logarítmica racional mudança de variável substituição quadrática fatoração por agrupamento báscara solução resolver álgebra

Answer 2

$\sf \underbrace{\sf Veja\ Abaixo}\\\\\\\displaystyle \frac{3+\log _2\left(x\right)}{\log _2\left(x\right)}+\frac{2-\log _2\left(x\right)}{3-\log _2\left(x\right)}=\frac{5}{2}\\\\\\{Multiplique\:pelo\:m\acute{i}nimo\:m\acute{u}ltiplo\:comum=}2\log _2\left(x\right)\left(-\log _2\left(x\right)+3\right)$

$\sf \displaystyle \frac{3+\log _2\left(x\right)}{\log _2\left(x\right)}\cdot \:2\log _2\left(x\right)\left(-\log _2\left(x\right)+3\right)+\frac{2-\log _2\left(x\right)}{3-\log _2\left(x\right)}\cdot \:2\log _2\left(x\right)\left(-\log _2\left(x\right)+3\right)=\frac{5}{2}\cdot \:2\log _2\left(x\right)\left(-\log _2\left(x\right)+3\right)$

$\sf \displaystyle 2\left(3+\log _2\left(x\right)\right)\left(-\log _2\left(x\right)+3\right)+2\log _2\left(x\right)\left(2-\log _2\left(x\right)\right)=5\log _2\left(x\right)\left(-\log _2\left(x\right)+3\right)\\\\\\2\left(3+u\right)\left(-u+3\right)+2u\left(2-u\right)=5u\left(-u+3\right)\\\\\\u=9,\:u=2\\\\\\log_2(x)=9\to x=512\\\\\\log_2(x)=2\to x=4\\\\\\\to \boxed{\sf x=512 }\\\\\\\to \boxed{\sf x=4}$