Question

São dadas duas curvas parametrizadas no plano:

$\large\begin{array}{l} \mathsf{C_1:}~\left\{\! \begin{array}{l}\mathsf{x(t)=t}\\\\ \mathsf{y(t)=sen\,t} \end{array} \right.\qquad\quad\mathsf{C_2:}~~\left\{\! \begin{array}{l}\mathsf{x(t)=\frac{16\pi}{5}-\frac{3}{5}\,t-\frac{4}{5}\,sen\,t}\\\\\mathsf{y(t)=\frac{8\pi}{5}-\frac{4}{5}\,t+\frac{3}{5}\,sen\,t} \end{array} \right. \end{array}$

com 0 ≤ t ≤ π para ambas.

Mostre que a imagem da curva C₂ é a reflexão de C₁ através de uma reta r (chamada eixo de reflexão), e obtenha a equação geral dessa reta (na forma ax + by + c = 0).
________

Instruções: Responda de forma completa, com o passo a passo bem explicado. A resposta mais bem detalhada e organizada será marcada como a melhor, além de receber obrigado e estrelinhas.

Só responda se souber. Quem responder errado de propósito, com brincadeiras apenas para ganhar os pontos, terá a resposta eliminada e os pontos retirados. Obrigado. =)

Tags:  desafio curvas parametrizadas plano reflexão simetria geometria analítica álgebra linear

Answer 1

Vamos lá!

Para verificarmos que $c_{1}$ é a reflexão de $c_{2}$, é preciso que haja um eixo de simetria (Deve ser uma reta), em que todos os pontos dela serão médios aos pontos das outras duas curvas, em função de t, ou seja, equidistante das duas curvas mencionadas.

As coordenadas do eixo seguem a seguinte equação:

$x_{m}=\frac{ (x_{c1}+ x_{c2}) }{2}$
$y_{m}=\frac{ (y_{c1}+ y_{c2}) }{2}$

Substituindo, teremos:

$x_{m}=\frac{ (t+ \frac{16 \pi }{5}- \frac{3t}{5}- \frac{4sen(t)}{5}) }{2} = \frac{t+8 \pi -2sen(t)}{5}$ 
$y_{m}=\frac{ (sen(t)+ \frac{8 \pi }{5}- \frac{4t}{5}+ \frac{3sen(t)}{5}) }{2}= \frac{-2t+4 \pi +4sen(t)}{5}$

Para determinarmos se essas coordenadas seguem uma reta, é necessário determinar 3 valores para t e verificar se os pontos encontrados formam uma reta à partir do uso de determinantes.

Para t = 0, temos:

$x_{m} = \frac{t+8 \pi -2sen(t)}{5} = \frac{0+8 \pi -2sen(0)}{5}= \frac{8 \pi }{5}$
$y_{m}= \frac{-2t+4 \pi +4sen(t)}{5}=\frac{-2*0+4 \pi +4sen(0)}{5}= \frac{4 \pi }{5}$

Para t=$\pi$

$x_{m} = \frac{t+8 \pi -2sen(t)}{5} = \frac{ \pi +8 \pi -2sen( \pi )}{5}= \frac{9 \pi }{5}$
$y_{m}= \frac{-2t+4 \pi +4sen(t)}{5}= \frac{-2 \pi +4 \pi +4sen( \pi )}{5}= \frac{2 \pi }{5}$

Para t=$\frac{ \pi }{2}$

$x_{m} = \frac{t+8 \pi -2sen(t)}{5}= \frac{ \frac{ \pi }{2} +8 \pi -2sen( \frac{ \pi }{2} )}{5} = \frac{8.5- \sqrt{2} }{5}$
$y_{m}= \frac{-2t+4 \pi +4sen(t)}{5}= \frac{-2* \frac{ \pi }{2}+4 \pi +4sen( \frac{ \pi }{2} )}{5}= \frac{3 \pi +2 \sqrt{2} }{5}$

Para que os 3 pontos sejam colineares, é preciso que respeitem à equação:

$\left\begin{vmatrix} x_{a} & y_{a} &1\\ x_{b} & y_{b} &1\\ x_{c} & y_{c} &1\end{vmatrix}\right= \left\begin{vmatrix} \frac{8 \pi }{5} & \frac{4 \pi }{5} &1\\ \frac{9 \pi }{5} & \frac{2 \pi }{5} &1\\ \frac{8.5- \sqrt{2} }{5} & \frac{3 \pi +2 \sqrt{2} }{5} &1\end{vmatrix}\right =0$

$\frac{16 \pi ^{2} }{25}+ \frac{34 \pi^{2}-4 \sqrt{2} \pi}{25}+ \frac{27 \pi^{2}+18 \sqrt{2} \pi}{25}= \frac{17 \pi^{2} -2 \sqrt{2} }{25}+ \frac{24 \pi^{2}+16 \sqrt{2} \pi }{25} + \frac{36 \pi^{2} }{25}$

$77 \pi^{2}+14 \sqrt{2} \pi = 77 \pi^{2}+14 \sqrt{2} \pi$
$77 \pi^{2}+14 \sqrt{2} \pi -77 \pi^{2}-14 \sqrt{2} \pi=0$
$0=0$

Portanto, os pontos médios entre as duas curvas formam uma reta, assim o eixo de simetria existe e as curvas são reflexões uma da outra.

Esse resultado será o mesmo para quaisquer 3 valores de t, provado no Anexo 1, em que foram utilizadas as variáveis $t_{1}$,$t_{2}$ e $t_{3}$ para determinar 3 pontos distintos: {$x_{a} ; y_{a}$},{$x_{b} ; y_{b}$} e {$x_{c} ; y_{c}$} respectivamente. Esses pontos sempre irão satisfazer a condição de alinhamento, provado por meio do uso de determinantes.

Para encontrarmos a equação geral desse eixo, precisamos calcular primeiramente o coeficiente angular, que é dado pela relação:

$m= \frac{y- y_{a} }{x- x_{a} }$

Substituindo os valores de 2 dos 3 pontos, temos:

$m= \frac{\frac{4 \pi }{5}- \frac{2 \pi }{5} }{ \frac{8 \pi }{5}- \frac{9 \pi }{5} } = \frac{ \frac{2 \pi }{5} }{ \frac{- \pi }{5} } =-2$

O termo independente da equação pode ser encontrado usando a mesma fórmula do determinante, em que usaremos 2 valores dessa reta, e mais um que é o ponto de interseção com o eixo y {x=0}.

$\left\begin{vmatrix} x_{a} & y_{a} &1\\ x_{b} & y_{b} &1\\ x_{c} & y_{c} &1\end{vmatrix}\right=\left\begin{vmatrix} \frac{8 \pi }{5} & \frac{4 \pi }{5} &1\\ \frac{9 \pi }{5} & \frac{2 \pi }{5} &1\\ 0 & y &1\end{vmatrix}\right =0$

$\frac{16 \pi^{2} }{25} + \frac{9 \pi y}{5} = \frac{36 \pi^{2} }{25} + \frac{8 \pi y}{5}$
$16 \pi^{2}+45 \pi y=36 \pi^{2} +40 \pi y$
$5 \pi y=20 \pi^{2}$
$y=4 \pi$

Portanto, a equação reduzida da reta do eixo de simetria é

$y=mx+ x_{0}$
$y=-2x+4 \pi$

A equação geral é: $2x+y-4 \pi =0$

Espero ter ajudado!