Question

Determine o conjunto de todas as soluções da seguinte equação logarítmica:

$\left(log_2x\right)^2+5log_4x~+~1=0$

Answer 1

(log₂x)² + 5.log₄x + 1 =0 
(log₂x)² + 5.log₂x
              ⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻  +1 = 0  ⇒  chamenos log₂x = y  ⇒ y² + 5.y/2 + 1 = 0  ⇒
                 log₂4 
2y² +5y + 2 = 0 ⇒ Δ = 9 ⇒ y =( - 5 ⁺₋ 3)/4 ⇒  y' = - 2  ou  y" = - 1/2
Logo, temos:  log₂x = - 2 ⇒ x = 1/4 ou  log₂x = -1/2 ⇒ x = √2/2
 
    Solução(S):  x = 1/4  ou  x = √2/2 ⇒  S = {1/4 , √2/2 }

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Equação Logarítmica :

$\mathtt{ \Big( \log_{2} x \Big)^2 + 5\log_{4} x + 1~=~0 }$

$\mathtt{ \Big( \log_{2} x \Big)^2 + 5 \log_{2^2} x + 1~=~0 }$

$\mathtt{ \Big( \log_{2} x \Big)^2 + 5 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \log_{2} x + 1~=~0 }$

Seja : $\mathtt{ \log_{2} x~=~k }$

$\boxed{ \mathtt{ \red{ k^2 + \dfrac{5}{2}k + 1~=~0 } } }$

$\mathtt{ Coeficientes :} \begin{cases} \mathtt{ a~=~1 } \\ \\ \mathtt{ b~=~ \dfrac{5}{2} } \\ \\ \mathtt{ c~=~ 1 } \end{cases}$

$\mathtt{\red{~~~~~~~~~ BHASKARA } }$

$\mathtt{ k~=~ \dfrac{ -b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} }$ , Onde :

∆ = b² - 4ac

Substituindo vamos ter :

$\boxed{\boxed{ \mathtt{ \red{ k~=~ \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} } } } }$ ✅✅

$\mathtt{ k~=~\dfrac{-\frac{5}{2} \pm \sqrt{ \Big( \frac{5}{2} \Big)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 }}{2\cdot1} }$

$\mathtt{ k~=~ \dfrac{ -\frac{5}{2} \pm \sqrt{ \frac{25}{4} - 4 }}{2}~=~ \dfrac{ -\frac{5}{2} \pm \sqrt{ \frac{25 - 16}{4} }}{2} }$

$\mathtt{ k~=~\dfrac{ -\frac{5}{2} \pm\sqrt{ \frac{9}{4} }}{2}~=~\dfrac{ -\frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}}{2} }$

$\mathtt{ k : }\begin{cases} \mathtt{ k_{1}~=~\dfrac{ -\frac{5}{2} + \frac{3}{2} }{2}~=~\dfrac{-\frac{2}{2}}{2} } \\ \\ \mathtt{ k_{2}~=~ \dfrac{ -\frac{5}{2} - \frac{3}{2}}{2}~=~\dfrac{-\frac{8}{2}}{2} } \end{cases}$

$\mathtt{k :} \begin{cases} \mathtt{ k_{1}~=~-\dfrac{1}{2} } \\ \\ \mathtt{ k_{2}~=~-\dfrac{4}{2} } \end{cases}$

$\mathtt{ k : } \begin{cases} \boxed{\mathtt{ \red{ k_{1}~=~-\dfrac{1}{2} } } } \\ \\ \boxed{\mathtt{ \red{ k_{2}~=~-2 } } } \end{cases}$

Lembremos que : $\mathtt{ \log_{2} x~=~k }$

Logo :

$\mathtt{ \log_{2} x ~=~-\dfrac{1}{2}~\vee~\log_{2}x~=~-2 }$

Aplicando a definição dos logarítmos :

$\mathtt{ 2^{-\frac{1}{2}}~=~x~\vee~2^{-2}~=~x }$

$\mathtt{x~=~\dfrac{1}{\sqrt{2}}~\vee~x~=~\dfrac{1}{2^2} }$

$\mathtt{ \red{ x~=~\dfrac{ \sqrt{2} }{2} ~\vee~x~=~ \dfrac{1}{4} } }$

Espero ter ajudado bastante!)

$\mathbb{ Att :JOAQUIM-MARCELO }$