Question

Sejam as funções g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x - 4; h(x) = f(g(x)) = 9x² - 6x + 1. Determine a função f(x).

Answer 1

Oi Larissa.

Dada a função vamos encontrar f(x):
Já que a função composta é elevada ao quadrada podemos colocar f(x) como:

$g(x)=3x-4\\ f(x)=ax^{ 2 }+bx+c$

Agora é só colocar a função g(x) dentro da função f(x). Onde estiver x na função f, colocaremos a função g.

$a(3x-4)^{ 2 }+b(3x-4)+c$

Agora é só igualar e resolver:

$9x^{ 2 }-6x+1=a(3x-4)^{ 2 }+b(3x-4)+c$

Fazendo a distributiva teremos:

$9x^{ 2 }-6x+1=a(9x^{ 2 }-12x-12x+16)+3bx-4b+c\\ 9x^{ 2 }-6x+1=a(9x^{ 2 }-24x+16)+3bx-4b+c\\ 9x^{ 2 }-6x+1=9ax^{ 2 }-24ax+16a+3bx-4b+c$

Agora é só colocar o x em evidência. Ele aparece junto do -24 e do 3:

$9x^{ 2 }-6x+1=9ax^{ 2 }+(3b-24a)x+16a-4b+c$

Agora é só igualar os temos semelhantes e achar os valores de a,b e c.

Quem tá ao lado do x²?
é o 9 e 9.

$9a=9\\ a=\frac { 9 }{ 9 } \\ \\ a=1$

Quem tá ao lado do x?

$3b-24a=-6\\ 3b-24(1)=-6\\ 3b=-6+24\\ 3b=18\\ b=\frac { 18 }{ 3 } \\ \\ b=6$

E quem está sozinho?

$16a-4b+c=1\\ 16(1)-4(6)+c=1\\ 16-24+c=1\\ -8+c=1\\ c=1+8\\ c=9$

Portanto:

$f(x)=x^{ 2 }+6x+9$