Question

um ponto material obedece a função horária : s=-30+5t+5t². Determine: a) o instante em que o móvel passa pela origem b) a função horária da velocidade c) o instante em que o móvel muda de sentido

Answer 1

$\boxed{S=S_0+V_0*t + \frac{a}{2} *t^2}$
essa é a equação do espaço

S = espaço final
s0 = espaço inicial
v0 = velocidade incial
a = aceleração
t = tempo

aplicando no problema
$S=-30+5t+5t^2$

S0 = -30
v0 = 5
a = 10 (porque a aceleração está dividida por 2..então deve-se fazer (5*2=10)

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a) o instante em que o móvel passa pela origem

ele passa na origem quando S=0
$0=-30+5t+5t^2\\\\0=-6+t+t^2$

simplifiquei dividindo tudo por 5
agora temos uma equação do segundo grau
a = 1
b = 1
c = -6
aplicando bhaskara
$\boxed{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4*a*c} }{2*a} }\\\\\\ \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4*1*(-6)} }{2*1}= \frac{-1\pm \sqrt{25} }{2} = \frac{-1+5}{2} \\\\\ t'= \frac{-1-5}{2} =-3\\\\t''= \frac{-1+5}{2} =2$

como o tempo não pode ser negativo...ele irá passar pela origem no instante t=2 s
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 b) a função horária da velocidade

$\boxed{V=V_o+a*t}$
V = velocidade final
V0 = velocidade inicial
a = aceleração
substituindo os valores
$V=5+10t$
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c) o instante em que o móvel muda de sentido

ele inverte de sentido quando a velocidade final for 0
$0=5+10t\\\\0-5=10t\\\\ \frac{-5}{10} =t\\\\ -\frac{1}{2} =t$

tempo negativo então ele nunca irá mudar de sentido n

Answer 2

A função horária dos espaços é s(t) = -30 + 5t + 5t² para t > 0.

a)

O instante em que o móvel passa pela origem (s = 0) será:

s(t) = -30 + 5t + 5t²

0 = -30 + 5t + 5t²

Temos uma equação de segundo grau que pode ser simplificada dividindo todo mundo por 5:

5t² + 5t - 30 = 0

t² + t - 6 = 0

Resolvendo essa equação:

Δ = b² - 4ac

Δ = 1² - 4.1.(-6)

Δ = 25

t = (-b ± √Δ)/2a

t = (-1 ± √25)/2.1

t = (-1 ± 5)/2

t1 = (-1 + 5)/2 = 2

t2 = (-1 - 5)/2 = -3

O enunciado diz que a função só é válida para t > 0, portanto temos t = 2 s como única resposta possível.

Em t = 2 s, o móvel passa pela origem.

b)

A função horária da velocidade é a derivada da função horária dos espaços.

s(t) = -30 + 5t + 5t²

v(t) = ds(t)/dt

v(t) = 5 + 10t

Se você não estiver confortável com derivadas, podemos descobrir a função horária das velocidades de outra maneira. Primeiramente, sabemos que ela será da forma v = v0 + at, mas não conhecemos os valores de v0 e a. Para descobri-los, podemos comparar a função horária dos espaços s(t) com uma das equações do movimento uniformemente variado:

s(t) = -30 + 5t + 5t²

s = s0 + v0t + at²/2

Fazendo a comparação, percebemos que:

v0 = 5

a/2 = 5 => a = 10

E a função horária da velocidade será:

v = v0 + at

v = 5 + 10t

(Que é, como esperado, o mesmo resultado encontrado anteriormente.)

c)

Teoricamente, o instante em que o móvel muda de sentido corresponde ao instante em que v = 0. Então, temos:

v(t) = 5 + 10t

0 = 5 + 10t

10t = -5

t = -5/10

t = -0,5 s

Agora, veja bem. A função s(t) só é válida para t > 0, portanto podemos dizer o mesmo sobre a função v(t). A função v(t) também só é válida para t > 0. Então, o resultado ser um instante de tempo negativo indica que o móvel nunca mudará de sentido para qualquer instante de tempo t > 0.

Se você analisar v(t) = 5 + 10t, perceberá que isso é verdade, pois, para qualquer valor de t que você colocar nessa função, v(t) sempre retornará um valor positivo. Repare que a velocidade inicial é 5 m/s e só cresce conforme o tempo passa, então o móvel nunca atinge velocidade zero e, portanto, nunca muda de sentido.

Espero ter ajudado.