Question

Determine o conjunto de todas as soluções da equação exponencial

$5\cdot 4^{1-x}-0,25^{2x}-64=0$

Answer 1

$5.4^{1-x}-0,25^2x-64=0\\ \\ 5.\frac{4}{4^x}-(\frac{1}{4})^{2x}-64=0\\ \\ \frac{20}{4^x}-4^{-2x}-64=0\\ \\ \frac{20}{4^x}-(4^x)^{-2}-64=0\\ \\ \frac{20}{4^x}-\frac{1}{(4^x)^2}-64=0\\ \\ \boxed{y=4^x}\\ \\ \frac{20}{y}-\frac{1}{y^2}-64=0\\ \\ 20y-1-64y^2=0$
$y_1=\frac{1}{16}\\ y_2=\frac{1}{4}\\ \\ 4^x=4^{-2}\Rightarrow x=-2\\ \\ 4^x=4^{-1} \Rightarrow x=-1$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Equação exponencial :

Dada equação :

$\mathsf{ 5.4^{1-x} - 0,25^{2x} - 64~=~0 }$

$\mathsf{5 . \dfrac{4}{4^x} - \Bigg(\dfrac{1}{4} \Bigg)^{2x} - 64 ~=~0 }$

$\mathsf{ \dfrac{20}{4^x} - 4^{-2x} - 64~=~0 }$

$\mathsf{ \dfrac{20}{4^x} - (4^x)^{-2} - 64 ~=~ 0 }$

Seja : $\mathsf{4^x~=~k }$

$\mathsf{ \dfrac{20}{k} - k^{-2} -64 ~=~0 }$

$\mathsf{ \dfrac{20}{k} - \dfrac{1}{k^2} - 64 ~=~ 0 }$

Vamos multiplicar toda equação por k²

$\mathsf{ k^{\cancel{2}} . \dfrac{20}{\cancel{k}} - \cancel{k^2}. \dfrac{1}{\cancel{k^2}} - k^2.64 ~=~0 }$

$\mathsf{20k - 1 - 64k^2~=~0 }$

$\mathsf{ -64k^2+20k-1~=~0 }$ Multipliquemos toda a equação por -1 :

$\mathsf{ \red{64k^2-20k+1~=~0 } }$

$\mathsf{Coeficientes:} \begin{cases} \mathsf{a~=~64} \\ \\ \mathsf{b~=~-20} \\ \\ \mathsf{c~=~1} \end{cases}$

Bhaskara :

$\mathsf{k~=~\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} }$ , Onde :

∆ = b² - 4ac ,

inserindo a expressão vamos ter :

$\boxed{\boxed{\mathsf{k~=~\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} }}}}$

Jogando os dados na Fórmula ter-se-á :

$\mathsf{k~=~\dfrac{-(-20)\pm\sqrt{(-20)^2-4.64.1}}{2.64} }$

$\mathsf{k~=~\dfrac{+20\pm\sqrt{400-256}}{128} ~=~ \dfrac{20\pm\sqrt{144}}{128} }$

$\mathsf{k~=~\dfrac{20\pm\12}{128} }$

Note que :

$\mathsf{k~=~}\begin{cases} \mathsf{k_{1}~=~\dfrac{20+12}{128}~=~\dfrac{32}{128} } \\ \\ \mathsf{k_{2}~=~\dfrac{20-12}{128}~=~\dfrac{8}{128}} \end{cases}$

$\mathsf{k~=~} \begin{cases} \mathsf{\green{ k_{1}~=~\dfrac{1}{4} }} \\ \\ \mathsf{ \green{ k_{2}~=~\dfrac{1}{16} }} \end{cases}$

Tendo achado os valores de k , podemos voltar a nossa incógnita x .

$\mathsf{\blue{4^x~=~k } }$

$\mathsf{4^x~=~k_{1} }$

$\mathsf{4^x~=~\dfrac{1}{4}}$

$\mathsf{\cancel{4}^x~=~\cancel{4}^{-1} }$

$\mathsf{\green{x_{1}~=~-1 } }$

$\mathsf{4^x~=~k_{2} }$

$\mathsf{4^x~=~\dfrac{1}{16} }$

$\mathsf{4^x~=~\dfrac{1}{4^2} }$

$\mathsf{\cancel{4}^x~=~\cancel{4}^{-2} }$

$\mathsf{ \green{ x~=~-2} }$

Espero ter ajudado bastante!)