Question

Encontre a fração geratriz de cada dízima :

a) 0,444...
b) 1,8181...
c) 0,125125...

Answer 1

a) 0,444...

x = 0,444

      10x = 4,444...
  -       x = 0,444...
        9x = 4

9x = 4
x = 4 / 9

b) 1,8181...

x = 1,8181...

     100x = 181,8181...
  -        x =   1,8181...   
         99x = 180

99x = 180
x = 180 / 99
x = 20 / 11

c) 0,125125...

x = 0,125125...

     1000x = 125,125...
   -       x = 0,125125...
         999x = 125

999x = 125
x = 125 / 999

 Abraços.

Answer 2

Olá!

Dízimas periódicas são números racionais com decimais periódicos, sendo que a repetição desses números formam a parte periódica.

a) 0, 444 ... é o mesmo que $0,\overline{4}$ 

Façamos x = 0,444... e multipliquemos ambos os membros por 10:
10x = 4,444...

Subtraindo membro a membro, a primeira igualdade da segunda:

10x - x = 4,444... - 0,444... → 9x = 4 → $\boxed{\boxed{x = \frac{4}{9} }}\end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Portanto a geratriz de 0,444... ou $0,\overline{4}$ é a fração $\boxed{\boxed{x = \frac{4}{9} }}$

b) 1,8181 ... é o mesmo que $1,\overline{81}$

Façamos x = 1,8181... e 100x = 181,8181...

Subtraindo membro a membro, temos:

99x = 180 → $x = \frac{180}{99}$ → simplificamos por 9, temos: $\boxed{\boxed{x = \frac{20}{11} }}\end{array}}\qquad\quad\checkmark$

Portanto a geratriz de 1,8181... ou $1,\overline{81}$ é a fração $\boxed{\boxed{x = \frac{20}{11} }}$

c) 0,125125 ... é o mesmo que $0,\overline{125}$ 

Façamos x = 0,125... e 1000x = 125,125...

Subtraindo membro a membro, temos:

999x = 125 → $x = \frac{125}{999}$ , temos: $\boxed{\boxed{x = \frac{125}{999} }}\end{array}}\qquad\quad\checkmark$

Portanto a geratriz de 0,125125... ou $0,\overline{125}$ é a fração $\boxed{\boxed{x = \frac{125}{999} }}$

***Resolvendo por outro modo:

De uma forma mais clara para a sua compreensão, cada dízima é composta por um período (o número repetido sucessivamente após a vírgula)

Exs:
0,4444... possui período igual a 4
0,125125... possui período igual a 125

Para que se forme a fração, utilize o numerador (como período) e o denominador (como dígito 9, repetindo o dígito 9 de acordo com a quantidade de período).

Exs:
0,4444... = $\frac{4}{9}$ (formado por um número "4") (teremos um número 9)
0,125125... = $\frac{125}{999}$ (formado por três números "1, 2 e 5") (teremos três números 9, portanto 999)

Agora, se possuir parte inteira, separamos a parte decimal do inteiro e somamos, e aplicamos as regras anteriores:
Exs:
1,8181.... possui número inteiro igual a 1 e período igual a 81

1 + 0,8181 = $1 + \frac{81}{99} = \frac{99+81}{99} = \frac{180}{99} \:simplifique \frac{\div9}{\div9} \:\to \frac{20}{11}$

Bons Estudos!