Question

(Ufsj 2013) Considerando os valores de θ, para os quais a expressãosen θ/cossec θ + cos θ/ sec θ é definida, é CORRETO afirmar que ela está sempre igual a:a) 1. c) sen θ.b) 2. d) cos θ.Obs:. Gostaria dos cálculos se for possível!! Obrigada <3

Answer 1

$x=\dfrac{\mathsf{sen}\,\theta}{\mathsf{cossec}\,\theta}+\dfrac{\mathsf{cos}\,\theta}{\mathsf{sec}\,\theta}$

Estamos interessados em simplificar $x$ ao máximo.

Por definição, temos que

$\bullet\,\,\mathsf{cossec}\,\theta=\dfrac{1} {\mathsf{sen}\,\theta}\\\\\\\bullet\,\,\mathsf{sec}\,\theta=\dfrac{1}{\mathsf{cos}\,\theta}$

Substituindo na expressão de $x$:

$x=\dfrac{\mathsf{sen}\,\theta}{\mathsf{cossec}\,\theta}+\dfrac{\mathsf{cos}\,\theta}{\mathsf{sec}\,\theta}\\\\\\x=\dfrac{\mathsf{sen}\,\theta}{\big(\frac{1}{\mathsf{sen}\,\theta}\big)}+\dfrac{\mathsf{cos}\,\theta}{\big(\frac{1}{\mathsf{cos}\,\theta}\big)}\\\\\\x=\mathsf{sen}\,\theta\times\dfrac{\mathsf{sen}\,\theta}{1}+\mathsf{cos}\,\theta\times\dfrac{\mathsf{cos}\,\theta}{1}\\\\\\x=\mathsf{sen}\,\theta\times\mathsf{sen}\,\theta+\mathsf{cos}\,\theta\times\mathsf{cos}\,\theta\\\\\\x=\mathsf{sen}\,^{2}\theta+\mathsf{cos}\,^{2}\theta$

Mas, pela relação fundamental da trigonometria, sabemos que

$\mathsf{sen}\,^{2}\theta+\mathsf{cos}\,^{2}\theta=1~~~\mathsf{para~qualquer~\theta}$

Então, concluímos que

$\boxed{\boxed{x=1}}$