Question

(CFTRJ) Os alunos de um professor pediram que ele cobrasse na sua prova bimestral exercícios "quase iguais" aos do livro. Após ampla negociação, ficou acordado que o professor poderia mudar apenas uma palavra do exercício que ele escolhesse do livro.
O professor montou o seguinte problema:

Os angulos de um triângulo medem 3x, 4x e 5x e seu perimetro, em cm, mede 3 + (raiz)3 + (raiz)6. Quanto mede seu menor lado?

a) 2
b) (raiz)3
c) 1
d) (raiz) 6

Answer 1

Olá Lê

Eu vou responder essa pergunta para que você entenda como fazer.

Bom primeiro devemos desenhar um triângulo. Depois que desenhado devemos descobrir a medida dos seus ângulos internos, ou seja, os ângulos que ficam dentro do triângulo. Vamos lá:

As medidas dos ângulos do triângulo serão determinadas através da seguinte equação: 3x + 4x + 5x = 180°

Portanto, os ângulos internos do triângulo medem 45°, 60° e 75°

Lá na figura acima eu traçei a altura relativa ao maior lado do triângulo. Representado pela letra "h". Isso vai ajudar muito na resolução do problema.

Olhe apenas para o triângulo maior. Na questão pede para descobrirmos o menor valor desse triângulo maior, que no caso é o lado "a", pois esse lado é oposto ao menor ângulo do triângulo que é o 45°

Para descobrirmos o valor de "a", devemos descobrir a medida dos lados "h", "c", "d", " b", nessa ordem.

Antes de resolver vou relembrar, caso você tenha esquecido, as razões trigonométricas:
seno=cateto oposto/hipotenusa
cosseno=cateto adjacente/hipotenusa
tangente=cateto oposto/cateto adjacente

Primeiro passo: Descobrir o valor de "h".
Para isso nós devemos usar as razões trigonométricas no triângulo retângulo. Veja que quando eu tracei a altura "h", formou-se dois triângulos, que são retângulos. Logo:

sen60°=h/a
√3/2=h/a

vamos isolar o "h"
h=a√3/2

Segundo Passo: Descobrir o valor de "c":

cos60°=c/a
1/2=c/a

vamos isolar o "c":
c=a/2

Terceiro passo: descobrir o valor de "d":
Bom o triângulo menor da direita é isósceles, ou seja, tem dois lados iguais e um lado diferente, pois pela soma dos ângulos internos temos que:

90°+45°+x=180
x=180-135
x=45°

Como têm dois ângulos que medem 45°, então o triângulo é isósceles.

Logo o lado "d" é igual o lado "h". Temos que:

d=h
d=a√3/2

Quarto passo: descobrir o valor de "b":

sen45°=h/b
sen45°=(a√3/2)/b
√2/2=(a√3/2)/b
b*(√2/2)=a√3/2
b=(a√3/2)/(√2/2)
b=(a√3/2)*(2/√2)
b=(a√6/2)

O perímetro do triângulo é dado por:

P = 3 + √3 + √6 → a + a/2 + a√3/2 + a√6/2 = 3 + √3 + √6

a(3 + √3 +√6) = 2(3 + √3 + √6) → a = 2


Portanto, a medida do menor lado é 2  

Espero ter ajudado

qualquer dúvida posta um comentário