Question

Resolva a equação logarítmica:

$\Large\boxed{\boxed{(2+log_4x)(1-log_2x)=-5+log_2x}}\\ .$

Answer 1

Olá, Korvo.

$(2+\log_4x)(1-\log_2x)=-5+\log_2x\Rightarrow\\\\ (2+\frac{\log_2x}{\log_24})(1-\log_2x)=-5+\log_2x\Rightarrow\\\\ (2+\frac{\log_2x}{2})(1-\log_2x)=-5+\log_2x$

Façamos a seguinte mudança de variável: $y=\log_2x$.
Temos, então, que:

$(2+\frac{y}{2})(1-y)=-5+y\Rightarrow\\\\ 2-2y+\frac y2-\frac{y^2}2=-5+y\Rightarrow\,\,(\times 2)\\\\ 4-4y+y-y^2=-10+2y\Rightarrow\\\\ y^2+5y-14=0\Rightarrow y_1=2\text{ e }y_2=-7$

Voltando à mudança de variável:

$\begin{cases}\log_2x_1=y_1\Rightarrow\log_2x_1=2\Rightarrow x_1=2^2\Rightarrow\boxed{x=4}\\\log_2x_2=y_2\Rightarrow\log_2x_2=-7\Rightarrow x_2=2^{-7}=\frac1{2^7}\Rightarrow\boxed{x_2=\frac1{128}}\end{cases}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Olá korvo...

Equação Logarítmica :

Dada a equação :

$\mathsf{ \Big( 2 + \log_{4}x \Big) \Big( 1 - \log_{2} x \Big)~=~-5 + \log_{2} x }$

$\mathsf{ \Big( 2 + \log_{2^2} x \Big) \Big( 1 - \log_{2} x \Big) ~ = ~ -5 + \log_{2} x }$

Sabias que :

$\mathsf{ \log_{a^n} b ~ = ~ \dfrac{1}{n} . \log_{a} b }$ ??

Então , vamos aplicar essa regra , num dos logarítmos que têm sua base em potência :

$\mathsf{ \Big( 2 + \dfrac{1}{2} . \log_{2} x \Big) \Big( 1 - \log_{2} x \Big) ~ = ~ -5 + \log_{2} x }$

Vamos efectuar um empréstimo de variável , vamo lá ...

Seja :

$\mathsf{ \log_{2} x ~ = ~ k }$

Sendo assim vamos ter :

$\mathsf{ \Big( 2 + \dfrac{k}{2} \Big) \Big( 1 - k \Big) ~ = ~ -5 + k }$

Aplicando a distributiva , vamos ter :

$\mathsf{ 2 - 2k +\dfrac{k}{2} - \dfrac{k^2}{2} ~ = ~ -5 + k }$

$\mathsf{ -\dfrac{k^2}{2} - 3k + \dfrac{k}{2} + 2 + 5 ~=~0 }$

$\mathsf{ -\dfrac{k^2}{2} - \dfrac{5k}{2} + 7 ~=~0 }$ , Vamos multiplicar toda a equação por -1 :

$\mathsf{ \red{ \dfrac{1}{2}k^2 + \dfrac{5}{2}k - 7~=~0 } }$

$\mathsf{ Coeficientes } : \begin{cases} \mathsf{a~=~\dfrac{1}{2} } \\ \\ \mathsf{ b~=~\dfrac{5}{2} } \\ \\ \mathsf{ c~=~-7 } \end{cases}$

BHASKARA :

$\mathsf{ k~=~\dfrac{-b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} }$ , Onde por sua vez :

∆ = b² - 4 • a • c

Inje[c]tando esta Expressão na Fórmula acima , vamos ter :

$\boxed{\boxed{\mathsf{ k ~=~\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} }}}}$

Jogando os dados na Fórmula acima , ter-se-á :

$\mathsf{ k~=~\dfrac{- \frac{5}{2} \pm \sqrt{ \Big( \frac{5}{2} \Big)^2 - \cancel{4} . \Big( \frac{1}{\cancel{2}} \Big) . (-7) } }{\cancel{2}.\Big( \frac{1}{\cancel{2}} \Big) } }$

$\mathsf{ k~=~ \dfrac{-\frac{5}{2} \pm \sqrt{ \frac{25}{4} + 14 }}{1} }$

$\mathsf{k~=~-\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25 + 56}{4} } ~=~ -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{81}{4} } ~=~-\dfrac{5}{2} \pm \dfrac{9}{2} }$

$\mathsf{ k~=~} \begin{cases} \mathsf{k_{1}~=~ -\dfrac{5}{2} + \dfrac{9}{2}~=~\dfrac{4}{2} } \\ \\ \mathsf{ k_{2}~=~-\dfrac{5}{2} - \dfrac{9}{2}~=~-\dfrac{14}{2} } \end{cases}$

$\mathsf{ k~=~} \begin{cases} \mathsf{ \green{ k_{1}~=~2 } } \\ \\ \mathsf{ \green{ k_{2}~=~-7 } } \end{cases}$

Tendo achado os valores do k , voltemos a nossa incógnita inicial " x " , lembre que :

$\mathsf{ \blue{\log_{2} x~=~k }}$ , logo :

$\mathsf{ \log_{2} x~=~2 ~ \vee ~ \log_{2} x ~=~-7 }$

$\mathsf{ 2^2~=~x~ \vee ~ 2^{-7}~=~x }$

$\mathsf{x~=~4~ \vee ~ x~=~\dfrac{1}{2^7} }$

$\mathsf{x~=~} \begin{cases} \mathsf{ \red{ x~=~4 } } \\ \\ \mathsf{ \red{ x~=~\dfrac{1}{128} } } \end{cases}$

:::Espero ter ajudado bastante :::

Att: Príncipe-Joaquim