Question

Binômio de Newton (k^2+1)^5= ?

Answer 1

Descobrindo os coeficientes do binômio na pirâmide de pascal : 1 5 10 10 5 1

Faremos: $(k^{2})^{5} + 5* (k^{2})^{4} *1 + 10 *(k^{2})^{3} * 1+ 5* (k^{2})^{2} + 1$

Dará k^10 + 5k^8+10k^6+5k^4+1

$k^{10} +5 k^{8} +10 k^{6} +5 k^{4} +1$

Obs: não coloquei expoente em 1,pois qualquer expoente que elevar 1 vai dar ele mesmo.

Answer 2

Explicação passo a passo:

Sabe-se que:

$\displaystyle \boxed{\mathtt{(a + b)^n = \sum_{p = 0}^{n} \binom{n}{p} a^{n - p} \cdot b^p}}$

De modo análogo,

$\\ \displaystyle \mathtt{(k^2 + 1)^5 = \sum_{p = 0}^{5} \binom{5}{p} (k^2)^{5 - p} \cdot 1^p} \\\\\\ \mathtt{(k + 1)^5 = \binom{5}{0} (k^2)^{5 - 0} \cdot 1^0 + \binom{5}{1} (k^20^{5 - 1} \cdot 1^1 + \cdots + \binom{5}{5} (k^2)^{5 - 5} \cdot 1^5}$

Considerando tratar-se da 6ª linha do Triângulo Aritmético de Pascal,

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

(...)

Temos,

$\\ \displaystyle \mathtt{(k^2 + 1)^5 = \binom{5}{0} (k^2)^{5 - 0} \cdot 1^0 + \binom{5}{1} (k^2)^{5 - 1} \cdot 1^1 + \cdots + \binom{5}{5} (k^2)^{5 - 5} \cdot b^5} \\\\ \mathtt{(k^2 + 1)^5 = 1 \cdot (k^2)^5 + 5 \cdot (k^2)^4 \cdot 1^1 + \cdots + 1 \cdot (k^2)^{5 - 5} \cdot 1^5} \\\\ \mathtt{(k^2 + 1)^5 = 1 \cdot k^{10} + 5 \cdot k^8 + 10 \cdot k^6 + 10 \cdot k^4 + 5 \cdot k^2 + 1 \cdot k^0} \\\\ \boxed{\boxed{\mathtt{(k^2 + 1)^5 = k^{10} + 5k^8 + 10k^6 + 10k^4 + 5k^2 + 1}}}$