• Matéria: Matemática
  • Autor: BielFlawes
  • Perguntado 8 anos atrás

Determine x para que o triângulo de vértices (3,5), (1,3) e (x,1) seja equilátero

Respostas

respondido por: MacBarbosa
2
Oi Biel,

Pra que o triângulo seja equilátero as distancias entre seus vértices deve ser iguais, assim:

Atribuindo nomes aos vértices:  A = (3,5) , B = (1,3) , e C = (x,1)

então a distância entre A e B tem que ser igual a distância entre A e C

Fórmula da distancia entre dois pontos: 
 \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}

faremos que a distancia entre A e B é igual a distância de A até C

d_{(A.B)} = d_{(A,C)}

Agora vamos Calcular a distancia de A até B:

d_{(A,B)} =  \sqrt{(x_{B}-x_{A})^2 +(y_{B}-y_{A})^2}

Substituindo os valores:
d_{(A,B)} = \sqrt{(1-3)^2 +(3-5)^2
d_{(A,B)} = \sqrt{(-2)^2 +(-2)^2
d_{(A,B)} = \sqrt{4 +4
d_{(A,B)} = \sqrt{8}

Essa distancia é igual a d_{A,C} que é:
d_{(A,C)} = \sqrt{(x_{C}-x_{A})^2 +(y_{C}-y_{A})^2}
substituindo os valores que temos:
d_{(A,C)} = \sqrt{(x_{C}-3)^2 +(1-5)^2}
d_{(A,C)} = \sqrt{(x^2 - (2*x*3 + 9) +(-4)^2}
d_{(A,C)} = \sqrt{x^2 - 6x+ 9 +16}
d_{(A,C)} = \sqrt{x^2 - 6x+ 25
lembrando que essa distância tem que ser igual a :  \sqrt{8} pelo raciocínio feito antes.

então:

\sqrt{x^2 - 6x+ 25}  =  \sqrt{8}  (Cancela as raízes dos dois lados)

x^2 - 6x+ 25 = 8
x^2 - 6x+ 25-8=0
x^2 - 6x+ 17=0

Usando a fórmula de Bhaskara, podemos  concluir que essa equação não possue raizes reais pois Delta é negativo, então não há nenhum valor de X do ponto C que possa fazer com que esses três pontos (A,B e C) sejam vértices de um triângulo equilátero.

P.S.  Biel, você teria o Gabarito desta questão pra conferirmos ?
Acho que é isso, qualquer dúvida pode perguntar, ;D
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