Question

Sabendo que a matriz s=
( 1 x+2y z-4)
( 4 5 5 )
(3z+6 3x-y 0 )
É simétrica determine X, y e z

Answer 1

Vamos lá.

Veja,Clemeson, que a resolução é simples, embora um pouquinho trabalhosa.
Note que quando duas matrizes são simétricas, então teremos que a matriz original é igual à sua transposta.
Ou seja se uma matriz A é simétrica, então teremos que:

A = A^(t)

Bem, visto isso, agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) A matriz da sua questão é esta:

.......|..1...........x+2y.....z-4|
S = |..4.............5...........5|
.......|3z+6......3x-y.........0|

ii) Agora vamos ver qual é a transposta da matriz S acima. Para isso, basta que troquemos as linhas pelas colunas, ficando assim:

.............|..1.......4......3z+6|
S^(t) = |x+2y....5........3x-y|
............|z-4.......5............0|

iii) Finalmente, vamos igualá-las, pois se a matriz S é simétrica é porque ela é igual à sua transposta. Assim, teremos:


.......|..1...........x+2y.....z-4| = |..1.......4......3z+6|
.......|..4.............5...........5| = |x+2y....5........3x-y|
.......|3z+6......3x-y.........0| = |z-4.......5............0|

Agora veja: como elas são iguais, então vamos igualar cada elemento da primeira matriz ao elemento correspondente da segunda matriz. Assim, teremos que:

x + 2y = 4     . (I)
z - 4 = 3z + 6 ------ passando tudo o que tem "z" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, teremos:

z - 3z = 6 + 4
- 2z = 10     ----- multiplicando tudo por "-1", teremos:
2z = - 10
z = - 10/2
z = - 5 <--- Veja que já encontramos o valor de "z". 

5 = 3x - y ---- ou, o que é a mesma coisa:
3x - y = 5        . (II)

Note que fazendo as demais igualdades, vamos repetir o que já vimos acima. Então, como já temos que z = - 5, vamos encontrar quanto é "x" e "y". E, para isso, vamos trabalhar com as expressões (I) e (II), que são estas:

x + 2y = 4     . (I)
3x - y = 5        . (II)

Veja: vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "2" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (I), ficando assim:

x + 2y = 4 ---- [esta é a expressão (I) normal]
6x-2y = 10 --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "2"]
---------------------------- somando membro a membro, teremos:
7x+0 = 14 --- ou apenas:
7x = 14
x = 14/7
x = 2 <--- Este é o valor de "x".

Finalmente, para encontrar o valor de "y", vamos em quaisquer uma das expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos o "x" por "2". Vamos na expressão (I), que é esta:

 x + 2y = 4 ------ substituindo-se "x" por "2", teremos:
2 + 2y = 4
2y = 4-2
2y = 2
y = 2/2
y = 1 <---- Este é o valor de "y".

iv) Assim, resumindo, teremos que os valores de "x", "y" e "z" pedidos são estes:

x = 2; y = 1; z = - 5 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.