Question

Escalone, classifique e resolva as sistemas lineares abaixo?
a) {2x+3y+z=1}
{3x-3y+z=8}
{2y+z=0}
b){x+y-z=2}
{2x+3y+2z=5}
c){x+y+z=3}
{2x+3y+z=0}

Answer 1

a) 2x +3y +z=1                                                             2x + 3y +z =1 (mult por 3)
           2y +z=0                                                             3x - 3y +z =8  ( x por -2)
    3x -3y +z =8   por adiçao "pego" a 1ª com a 3ª        
                                                                            fica = 6x +9y + 3z =3
                                                                                     -6x+6y-2z=-16
                                                                     somando  0x +15y +z =-13
atualizando o sistema
 2x + 3y +z=1
         2y+z =0
        15y+z =-13
"pego" 2ª com a 3ª
 
 2y+z=0         x por 15
 15y+z=-13    x por -2

30y + 15z =0
-30y -2z=26
0y +13z=26     somando

atualizando o sistema(sistema escalonado)
2x + 3y +z =1
        2y+z =0
          13z= 26

13z=26                       2y+z=0                               2x +3.(-1)+2=1
  z= 26/13                    2y+2=0                              2x -3+2=1
   z= 2                          2y=0-2                               2x-1 =1
                                    2y=-2                                  2x =1+1
                                      y=-2/2                               2x=2
                                      y=-1                                   x=2/2
                                                                                x=1
SPD x=1,y=-1 e z=2

Answer 2

Para escalonar os sistemas, precisamos escrever suas matrizes aumentadas, ou seja:

a) Neste caso temos 3 equações e 3 variáveis, logo:

2  3  1  1

3 -3  1  8

0  2  1  0

Multiplicando a primeira linha por -3/2 e somando com a segunda, tem-se:

2   3      1       1

0 -15/2  -1/2  13/2

0     2       1      0

Somando a terceira equação com 4/15 vezes a segunda, tem-se:

2   3      1       1

0 -15/2  -1/2  13/2

0     0   26/30  52/30

Temos então:

26z/30 = 52/30

26z = 52

z = 2

-15y/2 -z/2 = 13/2

-15y - 2 = 13

y = -1

2x + 3(-1) + 2 = 1

x = 1

O sistema possui uma solução, portanto é SPD. Solução: {1, -1, 2}

b) Como este sistema possui mais incógnitas que equações, ele é classificado como SPI. Sua solução é:

1  1 -1 2

2 3 2 5

Multiplicando a primeira linha por -2 e somando com a segunda:

1  1 -1 2

0 1 4 1

Logo, temos:

x + y - z = 2

y + 4z = 1

Isolando y, ficamos com y = 1 - 4z, logo:

x + 1 - 4z - z = 2

x = 1 - 5z

A solução é: {1 - 5z, 1 - 4z, z}.

c) O sistema também é SPI e sua solução é {9 - 2z, -6 + z, z}.

1  1  1 3

2 3 1 0

1  1  1  3

0 1 -1 -6

y = -6 + z

x + (-6 + z) + z = 3

x = 9 - 2z

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