Question

(50 pontos)

Seja a função a baixo definida no conjunto dos naturais, tal que:

$\large\begin{array}\mathsf{f(n)=3\cdot f(n-1)+5}\qquad\qquad~~n\geq 2\end{array}$

Sabendo que:

$\large\begin{array}\mathsf{f(1)=2}\end{array}$

Encontre sua fórmula fechada.

$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}$

Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

 Olá Aks!

 Pensei no seguinte:

 Em exercícios como estes, é relevante avaliarmos o comportamento da imagem. Com isso, devemos determiná-las veja:

$\mathsf{f(n) \Rightarrow \begin{cases} \mathsf{f(2) = 3 \cdot f(1) + 5 \Rightarrow f(2) = 11} \\ \mathsf{f(3) = 3 \cdot f(2) + 5 \Rightarrow f(3) = 38} \\ \mathsf{f(4) = 3 \cdot f(3) + 5 \Rightarrow f(4) = 119} \\ \mathsf{f(5) = 3 \cdot f(4) + 5 \Rightarrow f(5) = 362}\\ \vdots \\ \end{cases}}$

 Coincidência ou não, repare que a diferença entre as imagens é um potência de 3. Note, também, que o maior (na diferença) dos domínios corresponde ao expoente da potência... Enfim, tomemos como exemplo f(2) e f(3); 3 > 2 e 3³ = 27 = f(3) - f(2). Mais um exemplo: f(4) e f(5); 5 > 4 e 3^5 = 243 = f(5) - f(4).

 Generalizando, temos que:

$\\ \mathsf{f(n) - f(n - 1) = 3^n} \\\\ \boxed{\mathsf{f(n - 1) = f(n) - 3^n}}$

 Ora, substituindo $\mathsf{f(n - 1)}$ na função (do enunciado) inicial teremos:

$\\ \mathsf{f(n) = 3 \cdot f(n - 1) + 5} \\\\ \mathsf{f(n) = 3 \cdot \left [ f(n) - 3^n \right ] + 5}\\\\ \mathsf{f(n) = 3 \cdot f(n) - 3 \cdot 3^n + 5}\\\\ \mathsf{2 \cdot f(n) = 3^{n + 1} - 5} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{f(n) = \frac{3^{n + 1}}{2} - \frac{5}{2}}}}$