Question

Define-se custo médio de produção Cm(x) o valor de produção de uma peça de um lote de x peças. Assim, o custo médio é calculada dividindo-se o custo total pelo número de peças produzidas:
Cm = C(x)/x. Se o custo médio de produção de certa mercadoria é dado por Cm(x) = -x + 3 + 10/x e a função receita é dada por R(x) = 10 - 2x² (x é dado em milhares):

a) obtenha o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo;

b) classifique a função Cm(x) quanto ao crescimento no intervalo [1,4]. O que você pode concluir após analisar o crescimento da função?

Answer 1

a)
A função lucro é dada pela diferença da função receita pela função custo:
$L(x)=R(x)-C(x)$
Para saber qual é o número de peças produzidas para se obter lucro máximo, faremos assim:

I) DEDUZIR O VALOR DE C(x)
O problema nos informa que $\displaystyle C_m(x)=\frac{C(x)}{x}$ o que implica que:
$C(x)=x\cdot C_m(x)$

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$\displaystyle C(x)=x\cdot\left(-x+\frac{10}{x}+3\right)=-x^2+3x+10$

II) Deduzir a função lucro:
Agora que obtemos a função custo, podemos facilmente deduzir a função lucro:
$\displaystyle L(x)=R(x)-C(x)\\R(x)=-2x^2+10\\C(x)=-x^2+3x+10\\\\L(x)=-2x^2+10+x^2-3x-10\\\boxed{L(x)=-x^2-3x}$

III) Descobrir o valor de peças para obter lucro máximo. Observando o gráfico de L(x) (anexado abaixo), observamos que há um ponto onde ele tem um valor máximo. Esse ponto é um ponto de máximo global, um ponto crítico da função onde a reta tangente é igual a zero. Para calcular o valor de x nesse ponto, precisaremos calcular a derivada de L(x) e igualá-la a zero:

Siga os passos:
$\displaystyle i)~~~~\frac{dL}{dx}=\frac{d}{dx}(-x^2-3x)=\frac{dR}{dx}-\frac{dC}{dx}\\\\ii)~~~\frac{dL}{dx}=-2x-3$

(no passo i, temos a propriedade de comutatividade das derivadas)
$\displaystyle \frac{dR}{dx}=-4x\\\\\frac{dC}{dx}=-2x+3\\\\\frac{dR}{dx}-\frac{dC}{dx}=-4x+2x-3=-2x-3=\frac{dL}{dx}$

agora precisamos igualar a derivada do lucro a zero para saber onde a reta tangente é zero:
$\displaystyle i)~~~~\frac{dL}{dx}=0\implies-2x-3=0\\\\ii)~~~-2x=3\\\\iii)~~x=-\frac{3}{2}=1,5$

Se x é dado em milhões:
$\displaystyle \frac{3}{2}\cdot10^{6}=\frac{3\cdot10^{6}}{2}=1500000$
então com 1500000 peças se obterá o lucro máximo. Ou seja, x = 1,5

b)

Se observamos o gráfico esboçado de $C_m(x)$
Perceberemos que a função é decrescente nesse intervalo, então o custo médio diminui quando aumentamos o número de itens produzidos.

Answer 2

O número de peças para o lucro máximo é 1500.

Para obter o número de peças produzidas para que o lucro seja máximo, precisamos encontrar a função lucro, que é definida como a diferença entre a receita e o custo.

Se o custo médio é o custo dividido pela quantidade de produtos, então:

C(x) = Cm(x).x

C(x) = (-x + 3 + 10/x).x

C(x) = -x² + 3x + 10

A função lucro será:

L(x) = 10 - 2x² - (-x² + 3x + 10)

L(x) = -x² - 3x

Derivando a função e igualando a zero, obtemos seus pontos críticos:

dL(x)/dx = -2x - 3

-2x - 3 = 0

2x = 3

x = 1,5 mil peças

Observando o gráfico da função no intervalo [1,4], notamos que a mesma é decrescente, então o custo médio diminui ao aumentar a quantidade de peças produzidas.

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