Question

Dúvida de Cálculo 1, Por favor favor me ajudem, valendo 30 pontos, enunciado anexo.
Preciso mt entender a 2 e descobrir como fazer eessa é a mais urgente, caso possam fazer a 3 tambem me ajudaria muito

Answer 1

2)
Precisamos definir quanto vale y' e depois y'':
Para derivar implicitamente uma função de x precisamos derivar todos os lados da equação em relação a x:
$\displaystyle \frac{d}{dx}(y^2+xy-x-yx^2)=\frac{d}{dx}0\\\\i)~~~~2y\frac{dy}{dx}+x\frac{dy}{dx}+y-1-2xy+\frac{dy}{dx}x^2=0\\\\ii)~~~2yy'+xy'+y-1-2xy+y'x^2=0\\\\iii)~~y'(2y+x+x^2)+y-1-2xy=0\\\\iv)~~y'(2y+x+x^2)=2xy+1-y\\\\v)~~y'=\frac{2xy-y+1}{2y+x^2+x}$
encontramos a derivada de primeira ordem, basta repetir o processo para encontrar a de segunda ordem:
$\displaystyle \frac{d}{dx}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{2xy-y+1}{2y+x^2+x}\right)=\frac{d^2y}{dx^2}\\\\u=2xy-y+1\\v=2y+x^2+x\\\\i)~~~~\frac{d}{dx}(2xy-y+1)=2(y'+y-y')=2y=u'\\\\i_2)~~~~\frac{d}{dx}(2y+x^2+x)=2y'+2x+1=v'\\\\\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{u'v-v'u}{v^2}\\\\ii)~~~y''=\frac{(2y)(2y+x^2+x)-(2y'+2x+1)(2xy-y+1)}{(2y+x^2+x)^2}\\\\iii)\frac{4y^2+2yx^2+2yx-(-2y'y+4y'xy+4x^2y-y+2y'+2x+1)}{4yx^2+x^4+2x^3+4yx+x^2+4y^2}\\\\\boxed{y''=\frac{4y^2+x^2(-2y)+xy(2-4y')+y'(2y-2)+y+2x+1}{x^2(x^2+2x+4y+1)+4y^2}}$

precisamos primeiro calcular o valor de y' no ponto dado:
$\displaystyle y'(x,y)=\frac{2xy-y+1}{2y+x^2+x}\\\\y'(1,0)=\frac{2(0\cdot1)-1+1}{2+0+0}=\frac{0}{2}=0$
então na segunda derivada todos os termos que têm o fator y' podem ser anulados:
$\displaystyle y''=\frac{4y^2+x^2(-2y)+xy(2-4y')+y'(2y-2)+y+2x+1}{x^2(x^2+2x+4y+1)+4y^2}\\\\y''=\frac{4y^2-2x^2y+xy(0)+0(2y-2)+y+2x+1}{x^2(x^2+2x+4y+1)+4y^2}\\\\\boxed{y''=\frac{4y^2-2x^2y+y+2x+1}{x^4+2x^3+4x^2y+4y^2+1}}$
(ELA SÓ É NULA NO PONTO DADO, CUIDADO, FOI POR ISSO QUE SIMPLIFIQUEI Y'' PARA CALCULARMOS COM MAIS FACILIDADE)
agora só precisamos calcular y''(x,y) em (1, 0):
$\displaystyle y''(x,y)=\frac{4y^2-2x^2y+y+2x+1}{x^4+2x^3+4x^2y+4y^2+1}\\\\y''(1,0)=\frac{0-0+0+2+1}{1+2+0+0+1}=\boxed{\frac{3}{4}}$

a 3 eu tentei, mas hoje não consegui. Se quiser postá-la de novo, eu faço com mais calma, não precisa por muitos pontos.