Question

(ANPAD-Raciocício Quantitativo set 2012-Questão 36): A soma de três números em progressão geométrica é igual a 105. Multiplicando o primeiro termo por 4, o do meio por 5 e o último por 4, a nova sequência será uma progressão aritmética. Então o termo do meio da progressão geométrica é:
a) 20  b) 30  c) 40  d) 50  e) 60

?????

Answer 1

Olá, Andressa.

Chamemos de $x$ o primeiro termo e de $q$ a razão da PG.

$x + xq + xq^2 = 105 \Rightarrow x(1 + q + q^2) = 105~\text{(i)}$

Multiplicando o primeiro e o terceiro termos por 4 e o segundo por 5, temos uma PA, ou seja:

$\frac{4x+4xq^2}2=5xq\Rightarrow 2x(1 + q^2) = 5xq \Rightarrow\\\\ 1 + q^2 = \frac{5q}2 \Rightarrow 2 + 2q^2 = 5q \Rightarrow 2q^2 - 5q + 2 = 0\\\\ \Delta = 25 - 4\cdot2\cdot2 = 9 \Rightarrow \sqrt\Delta = 3\\\\ q = \frac{5\pm3}4 \Rightarrow \boxed{q' = 2}\text{ e }\boxed{q'' = \frac12}$

Substituindo os valores encontrados em (i):

$q' = 2:\\\\ x(1 + 2 + 4) = 105 \Rightarrow x = \frac{105}7 = 15\\\\ \text{Segundo termo: }xq = 15\cdot2 = 30\\\\ \text{\underline{Resposta}: }\boxed{\text{letra "b"}}$

$q" = \frac12:\\\\x(1+\frac12+\frac14) = 105 \Rightarrow x(\frac{4+2+1}4)=105\Rightarrow 7x = 420 \Rightarrow x=\frac{420}7=60$

$\text{Segundo termo: }xq = 60\cdot\frac12 = 30\\\\ \text{\underline{Resposta}: }\boxed{\text{letra "b"}}$