Question

Dividindo-se um número sucessivamente por 3, 4 e 6, acham-se restos 2, 3 e 5. Calcular o número, sabendo que a soma dos quocientes é 24

Answer 1

Olá Pietra.



Pelo o algoritmo da divisão temos a seguinte expressão.

a  |_d_
r     q

a = qd + r


Ou seja, acima temos o algoritmo da divisão sendo representado por uma expressão algébrica. Sabendo que o dividendo a é igual ao produto do divisor d pelo quociente q mais o resto r, como foi colocado acima.

Com essa informação acima já é possível representar a divisão do número que queremos achar onde chamaremos de a, por cada número do enunciado.

Organizando as informações:

$\mathsf{a=3k+2}\\\\\mathsf{a=4k'+3}\\\\\mathsf{a=6k''+5}$

Acima representamos a divisão de a por cada valor do enunciado mais o seu resto.

Sabemos também que a soma do quociente da 24, ou seja:

$\mathsf{k+k'+k''=24}$

Com essas informações já é possível encontrar o valor de a.

$\mathsf{a=3k+2}\\\\\mathsf{a-2=3k}\\\\\mathsf{k=\dfrac{a-2}{3}}\\\underline{\qquad\qquad\qquad}\\\\\mathsf{a=4k'+3}\\\\\mathsf{a-3=4k'}\\\\\mathsf{k'=\dfrac{a-3}{4}}\\\underline{\qquad\qquad\qquad}\\\\\mathsf{a=6k''+5}\\\\\mathsf{a-5=6k''}\\\\\mathsf{k''=\dfrac{a-5}{6}}\\\underline{\qquad\qquad\qquad}\\\\\mathsf{Somando~tudo:}\\\\\mathsf{k+k'+k''=\dfrac{a-2}{3}+\dfrac{a-3}{4}+\dfrac{a-5}{6}}\\\\\mathsf{24=\dfrac{4\cdot(a-2)+3\cdot(a-3)+2\cdot(a-5)}{12}}$

$\mathsf{24=\dfrac{4\cdot(a-2)+3\cdot(a-3)+2\cdot(a-5)}{12}}\\\\\mathsf{24\cdot12=4a-8+3a-9+2a-10}\\\\\mathsf{24\cdot12=9a-27}\\\\\mathsf{9a=24\cdot12+27~\gets~invertendo.}\\\\\mathsf{a=\dfrac{\diagup\!\!\!\!24\cdot\diagup\!\!\!\!12}{\diagup\!\!\!\!9}+\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!27}{\diagup\!\!\!\!9}}\\\\\\\mathsf{a=8\cdot4+3}\\\\\mathsf{a=32+3}\\\\\boxed{\mathsf{a=35}}$


Portanto esse número é o 35.


Dúvidas? comente.