Question

Determine respectivamente os valores de a e b para que os pontos A (2, a, 3), B (2, 1, - 5) e C (b, -3, 4) sejam colineares.




a=(-23)/(9) b=0


a=(23)/(9) b=2


a=(-23)/(9) b=-2


a=(-23)/(9) b=2


a =0 b=2

Answer 1

Caso esteja pelo app, experimente abrir esta resposta pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/8338835

——————————

Temos três pontos do espaço $\mathsf{\mathbb{R}^3}:$

$\mathsf{A(x_A,\,y_A,\,z_A),~~B(x_B,\,y_B,\,z_B),~~C(x_C,\,y_C,\,z_C),}$


Tomando o ponto  A  como referência, os três pontos dados só serão  colineares  se os vetores  $\overrightarrow{\mathsf{AB}}$  e  $\overrightarrow{\mathsf{AC}}$  forem  paralelos, isto é

existe um escalar  $\mathsf{\lambda\in\mathbb{R},}$  tal que

$\overrightarrow{\mathsf{AB}}=\lambda\cdot \overrightarrow{\mathsf{AC}}\qquad\quad\mathsf{(i)}$

—————

Para os pontos dados nesta tarefa

$\mathsf{A(2,\,a,\,3),~~B(2,\,1,\,-5),~~C(b,\,-3,\,4),}$


obtemos as coordenadas dos vetores:

•  $\overrightarrow{\mathsf{AB}}=\mathsf{B-A}$

$\overrightarrow{\mathsf{AB}}=\mathsf{(2,\,1,\,-5)-(2,\,a,\,3)}\\\\ \overrightarrow{\mathsf{AB}}=\mathsf{(2-2,\,1-a,\,-5-3)}$

$\overrightarrow{\mathsf{AB}}=\mathsf{(0,\,1-a,\,-8)}$          ✔


•  $\overrightarrow{\mathsf{AC}}=\mathsf{C-A}$

$\overrightarrow{\mathsf{AC}}=\mathsf{(b,\,-3,\,4)-(2,\,a,\,3)}\\\\ \overrightarrow{\mathsf{AC}}=\mathsf{(b-2,\,-3-a,\,4-3)}$

$\overrightarrow{\mathsf{AC}}=\mathsf{(b-2,\,-3-a,\,1)}$          ✔


Devemos encontrar um escalar  $\mathsf{\lambda\in\mathbb{R},}$ tal que

$\overrightarrow{\mathsf{AB}}=\lambda\cdot \overrightarrow{\mathsf{AC}}\\\\ \mathsf{(0,\,1-a,\,-8)=\lambda\cdot (b-2,\,-3-a,\,1)}\\\\ \mathsf{(0,\,1-a,\,-8)=\big(\lambda\cdot (b-2),\,\lambda\cdot (-3-a),\,\lambda\big)}$


Igualando coordenada a coordenada, obtemos o sistema:

$\mathsf{(0,\,1-a,\,-8)=\big(\lambda\cdot (b-2),\,\lambda\cdot (-3-a),\,\lambda\big)}\\\\\\ \left\{\! \begin{array}{lc} \mathsf{0=\lambda\cdot (b-2)}\\\\ \mathsf{1-a=\lambda\cdot (-3-a)}\\\\ \mathsf{-\,8=\lambda} \end{array} \right.$


Da 3ª equação, já tiramos o valor adequado para  λ:

$\mathsf{\lambda=-\,8}$          ✔


•  Substitutindo  λ  na 1ª equação do sistema, obtemos

$\mathsf{0=-\,8\cdot (b-2)}\\\\ \mathsf{b-2=0}$

$\mathsf{b=2}$          ✔


•  Substitutindo  λ  na 2ª equação do sistema, obtemos

$\mathsf{1-a=-\,8\cdot (-3-a)}\\\\ \mathsf{1-a=24+8a}\\\\ \mathsf{1-24=8a+a}\\\\ \mathsf{-\,23=9a}$

$\mathsf{a=-\,\dfrac{23}{9}}$          ✔


Resposta:  a = – 23/9,   b = 2    (4ª opção).


Bons estudos! :-)


Tags:   pontos colineares vetores paralelos paralelismo sistema de equações geometria analítica álgebra linear