Question

Calcule a determinante:

[ sen x -cos x ]
[ cos x sen x ]

Answer 1

O determinante de uma matriz quadrada $A$ de ordem 2 (duas linhas e duas colunas) é calculado da seguinte forma:

$\boxed{\boxed{A=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]~~~\Longrightarrow~~\det A=ad-bc}}$
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Queremos calcular o determinante da matriz abaixo

$A=\left[\begin{array}{cc}\mathtt{sen}\,x&-\mathtt{cos}\,x\\\mathtt{cos}\,x&\,\,\,\,\,\mathtt{sen}\,x\end{array}\right]$

Mas, pela regra mostrada:

$\det A=\mathtt{sen}\,x\cdot\mathtt{sen}\,x-\big(-\mathtt{cos}\,x\big)\cdot\mathtt{cos}\,x\\\\\det A=\mathtt{sen}^{2}x+\mathtt{cos}\,x\cdot\mathtt{cos}\,x\\\\\det A=\mathtt{sen}^{2}x+\mathtt{cos}^{2}x$

Pela relação fundamental da trigonometria, temos que

$\mathtt{sen}^{2}\theta+\mathtt{cos}^{2}\theta=1~~~~\mathsf{para~qualquer~\theta~real}$

Então:

$\det A=\mathtt{sen}^{2}x+\mathtt{cos}^{2}x~~~~\Longrightarrow~~~~\boxed{\boxed{\det A=1}}$