Question

Como resolver essa inequação... x³- x²< 0

Answer 1

$x^{3}-x^{2}~\textless~0$

Vamos colocar $x^{2}$ em evidência no lado esquerdo:

$x^{3}-x^{2}~\textless~0~~\Leftrightarrow\\\\x^{2}\cdot(x-1)~\textless~0$

Como $x$ é uma quantidade real, sabemos que o quadrado de qualquer número real é não-negativo, isto é

$\boxed{\boxed{a\in\mathbb{R}~~\Longrightarrow~~a^{2}\ge0}}$

(isso é fácil de ser verificado, é só separar em casos $a\ge0$ e $a~\textless~0$)

Portanto, como $x$ é real, sabemos que $x^{2}\ge0$

Como isso ocorre, o produto $x^{2}(x-1)$ será negativo se e somente se $x-1$ for negativo, pois, caso contrário, teríamos uma quantidade não-negativa ($x^{2}$) sendo multiplicada por uma quantidade não-negativa ($x-1$), gerando uma quantidade não-negativa)

Logo, para $x^{3}-x^{2}~\textless~0$, devemos ter $x-1~\textless~0$, ou, equivalentemente, $x~\textless~1$.

Portanto, o conjunto de todos os valores de $x$ que satisfazem a desigualdade é o conjunto de números à esquerda de $1$, excluindo esse valor:

$\boxed{\boxed{S=\,\,\,]-\infty,1[\,\,\,=\,\,\,(-\infty,1)\,\,\,=\,\,\,\{x\in\mathbb{R}~/~x~\textless~1\}}}$