Biólogos estimam que a população P de certa espécie de aves é dada em função do tempo t, em anos, de acordo com a relação 5 t P 250 . (1,2) , sendo t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado. Em quantos anos a população dessa espécie de aves irá triplicar? (dados: log 2 0,3 e log 3 0,48. )
a) 45
b) 25
c) 12
d) 18
e) 30
Respostas
P(t) = 250*(1.2)^(t/5)
P(0) = 250*(1.2)^0 = 250
triplica então
750 = 250*(1.2)^(t/5)
(1.2)^(t/5) = 3
(t/5) * log(12/10) = log(3)
t * log(12/10) = 5log(3)
t = 5log(3)/(log(12) - log(10))
t = 5*0.48/(0.60 + 0.48 - 1.00)
t = 2.4/0.08 = 240/8 = 30 anos (E)
A população de aves irá triplicar em 30 anos, alternativa E.
Funções exponenciais
Uma função exponencial é aquela em que a variável está no expoente de uma base maior que zero e diferente de 1. Funções exponenciais são escritas na forma y = a·b^x.
A função que determina a população de aves em função do tempo é:
P(t) = 250·1,2^(t/5)
Queremos que essa função seja o triplo do valor inicial. Seu valor inicial é dado por t = 0:
P(0) = 250·1,2^(0/5)
P(0) = 250·1
P(0) = 250
Logo, queremos:
3·250 = 250·1,2^(t/5)
3 = 1,2^(t/5)
Aplicando o logaritmo de ambos os lados:
log 3 = log 1,2^(t/5)
log 3 = (t/5)·log 1,2
Pode-se escrever 1,2 como 12/10 ou 2²·3/10, logo:
log 3 = (t/5)·log 2²·3/10
log 3 = (t/5)·(2·log 2 + log 3 - log 10)
Substituindo os valores:
0,48 = (t/5)·(2·0,3 + 0,48 - 1)
0,48 = (t/5)·0,08
t = 5 · 0,48/0,08
t = 30
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