Question

O momento da força (ou torque) é diretamente proporcional ao momento de inércia e diretamente proporcional à aceleração angular de um corpo rígido ou partícula qualquer. Um disco de massa 4kg e raio 50cm gira ao redor de seu eixo central com velocidade angular inicial 10rad/s e depois, devido ao atrito com o eixo de rotação, reduz linearmente sua velocidade até o repouso completo após 4s. Marque a alternativa que contém a aceleração angular e o módulo do torque necessários para parar o disco.

Answer 1

Sabemos que a Lei de Newton para o movimento de translação é:
$\vec{F}=m\cdot\vec{a}$
O mesmo se aplica para o movimento de rotação:
$\vec{\tau}=I\vec{\alpha}$
onde
$\vec{\tau}=\text{torque}\\\\I=\text{momento de inercia}\\\\\vec{\alpha}=\text{aceleracao angular}$

I) Calcular o momento de inércia:
$dI=R^2dm$
onde
$\displaystyle I=\int r^2dm$

$\displaystyle \sigma=\frac{dm}{dA}\implies dm=\sigma dA$

$\displaystyle dA=2\pi rdr$

$\displaystyle I=2\pi\sigma\int\limits_{0}^{0,5m}r^3=2\pi\sigma\left[\frac{1}{4}r^4\right]_{0}^{0,5m}=2\pi\sigma\left(\frac{1}{4}(0,0625m^4+0\right) \\\\\sigma=\frac{m}{A}=\frac{4kg}{\pi(0,5m)^2}=\frac{4kg}{\pi(0,25m^2)}\\\\I=\frac{8kg}{0,25m^2}\cdot\frac{0,0625m^4}{4}=\boxed{\boxed{0,5kgm^2}}$

Note que se resolvessemos a integral acima sem substituir os valores obteriamos:

$\boxed{I=2\pi\sigma\int\limits_{0}^{r}r'^3dr'=2\pi\frac{m}{\pi r^2}\left(\frac{1}{4}r^4-0=\frac{1}{2}mr^2\right)}$

que é a fórmula tabelada para momento de inércia de um disco.

II) Calcular módulo do torque da rotação:
Usando a fórmula que dei podemos calcular o torque atuante no disco, mas precisamos encontrar a aceleração angular primeiro.

       i) calcular aceleração angular:
A velocidade angular era de $10rad/s$ então, para encontrarmos a aceleração angular teremos que voltar lá em MCUV:
$\displaystyle x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\implies \frac{x}{r}=\theta(t)\\\\\frac{d\theta}{dt}=\omega_0+\alpha t$
a velocidade ângular (dθ/dt) inicial era 10rad/s após 4 segundos é 0, então:
$\displaystyle 0=\frac{10rad}{s}+4\alpha~s\implies \alpha=\frac{10rad}{4s^2}=\boxed{\frac{2,5rad}{s^2}}$
podemos finalmente calcular o módulo do torque:
$\displaystyle |\vec{\tau}|=I\cdot|\vec\alpha|\\\\i)~~~~|\vec\tau|=0,5kgm^2\cdot 2,5rad/s^2\\\\ii)~~~|\vec\tau|=1,25rad\frac{kgm^3}{s^2}=\boxed{\boxed{1,25rad N\cdot m}}$

Sabemos que assim como para a força, o torque resultante é dado por:
$\displaystyle \vec\tau_r=\sum_{i=1}^{N}\vec{\tau}_i$
logo precisa-se somar ao torque do movimento do disco, outros torques a fim de torná-lo nulo.
O momento de inércia é constante, então trabalharemos apenas com a aceleração angular, precisa-se de uma aceleração negativa à que encontramos para parar o disco, está produzirá um torque negativo ao que existia antes:
$\boxed{\boxed{\tau=-1,25 N\cdot m}}\\\\\boxed{\boxed{\alpha=-2,5\frac{rad}{s^2}}}$

PS: Fiz os cálculos com extremo rigor, antes havia um grave erro na parte da integral do momento de inércia, ele foi corrigido e o novo resultado obtido foi -1,25 Nm. A não ser que o enunciado esteja diferente (algum dado adulterado).

Answer 2

Resposta:

-2,5 rad/s²; |t| = 2,5 N.m

Explicação:

ESPERO TER AJUDADO!!!

PODERIA COLOCAR COMO MELHOR RESPOSTA,AGRADEÇO!!!