Question

(UNESP-SP–2008) Dado o triângulo retângulo ABC, cujos
catetos são: AB = sen x e BC = cos x, os ângulos em
A e C são:
A) A = x e C = $\frac{π}{2}$
B) A = $\frac{π}{2}$ e C = x
C) A = x e C = $\frac{π}{2}$ - x
D) A = $\frac{π}{2}$ - x e C = x
E) A = x e C = $\frac{π}{4}$


Sei que a resposta é D, mas eu quero a explicação. Valendo 30 pontos.

Segue a imagem com a pergunta exata:

Answer 1

Olá!

Já que os catetos são AB e BC, então o ângulo reto está em B.

Encontremos a hipotenusa:

$\\ \mathsf{(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2} \\\\ \mathsf{(AC)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x} \\\\ \mathsf{(AC)^2 = 1} \\\\ \boxed{\mathsf{AC = 1}}$

 Em relação ao ângulo C, temos:

$\\ \mathsf{\sin\widehat{C} = \frac{\sin x}{1}} \\\\ \mathsf{\sin\widehat{C} = \sin x} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\widehat{C} = x}}}$

 Por fim, temos que:

$\mathsf{\widehat{A}+\widehat{C}=90^{\circ}} \\\\ \mathsf{\widehat{A} + x = \frac{\pi}{2}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\widehat{A} = \frac{\pi}{2} - x}}}$

Answer 2

$\overline{AC}=?$

$\overline{AB}=\sin(x)$

$\overline{BC}=\cos(x)$

Por

$\mathfrak{Pitágoras}$

Temos

$\mathsf{{\overline{AC}}^{2}={\overline{AB}}^{2}+{\overline{BC}}^{2}}$

$\mathsf{{\overline{AC}}^{2}={\sin}^{2}x+{\cos}^{2}x} \\ \mathsf{{\overline{AC}}^{2}} = 1 \rightarrow \: \mathsf{{\overline{AC} = 1}}$

$\sin(C)=\dfrac{AB}{AC}\\\sin(C)=\dfrac{\sin(x)}{1}\\sin(C)=\sin{x}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{C=X}}}$

$A+C=\dfrac{\pi}{2}\\A+x=\dfrac{\pi}{2}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{A =\dfrac{\pi}{2} - X }}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{Alternativa\,d}}}$