Question

O número 2ª.3.6.20 possui 96 divisores inteiros positivos quando x é um número natural igual a :
A)12
B)14
C)16
D)18
E)20

Answer 1

Vamos lá.

Veja, amigo, que a resolução é simples.
Tem-se que o número (que vamos chamá-lo de um certo N, apenas para deixá-lo igualado a alguma coisa), quando fatorado, fica da seguinte forma:

N = 2ˣ * 3 * 6 * 20 ----- vamos também fazer a fatoração de "6" e de 20. Veja que 6 = 2*3; e 20 = 2².5 . Assim, substituindo-se, teremos;

N = 2ˣ * 3 * 2*3 * 2²*5 ---- como a ordem dos fatores não altera o produto , então poderemos reescrever assim:

N = 2ˣ*2*2² * 3*3 * 5 --- note que os fatores primos que estão sem expoente, têm, na verdade, expoente igual a "1". Assim, ficaremos:

N = 2ˣ*2¹*2² * 3¹*3¹ * 5¹ ----- note que temos multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Então ficaremos assim:

N = 2ˣ⁺¹⁺² * 3¹⁺¹ * 5¹ ---- ou apenas:
N = 2ˣ⁺³ * 3² * 5¹ .

Bem, agora que já vimos como é que está fatorado o número "N" em seus fatores primos, então note isto e nunca mais esqueça:
O número de divisores inteiros de um número N que, quando fatorado, seja este, por exemplo: N = a^(p) * b^(q) * c^(r) * d^(s) , terá o número de divisores positivos encontrados da seguinte forma, chamando o número de divisores de "D":

D = (p+1)*(q+1)*(r+1)*(s+1).

Assim, tendo, portanto a relação acima como parâmetro, então o número de divisores inteiros do número N [N = 2ˣ⁺³ * 3² * 5¹]  será dado por:

D = (x+3+1)*(2+1)*(1+1) ------ desenvolvendo, teremos:
D = (x+4)*(3)*(2)
D = (x+4)*(6) ----- como já vimos que o número de divisores é 96, então substituiremos D por "96", ficando:

96 = (x+4)*6 ----- vamos apenas inverter, ficando assim:
(x+4)*6 = 96 --- isolando "x+4", teremos:
x+4 = 96/6 ---- veja que esta divisão dá exatamente igual a "16". Logo:
x+4 = 16 ----isolando "x", teremos:
x = 16 - 4
x = 12 <--- Esta é a resposta. Opção "A". Este é o valor do expoente "x" pedido.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.