Question

Após encontrar os pontos críticos da função f(x)=3x^4-8x^3+6x^2+2, é possível afirmar

A função possui um máximo local quando x=1
A função possui um máximo local igual a 2
A função possui um minimo local igual a -10
A função possui um minimo local quando x=0
A função possui um minimo local igual a 7

Answer 1

Temos que:

$f(x) = 3x^4-8x^3+6x^2+2$

Calculando a derivada:

$\dfrac{d}{dx} ~(3x^4-8x^3+6x^2+2) = 12x^3 - 24x^2 + 12x = x(12x^2 - 24x + 12)$

Logo temos os pontos críticos igualando a derivada a zero:

$x(12x^2 - 24x + 12) = 0 \\ \\ x_{3} = 0$

Um dos pontos necessariamente terá que ser igual a zero, logos os outros dois serão:

$12x^2 - 24x + 12 = 0 \\ \\ x^2 - 2x + 1 = 0 \\ \\ \left \{ {{x_{1} + x_{2} = 2 } \atop {x_{1}*x_{2}=1}} \right. \\ \\ x_{1} = 1 \\ x_{2} = 1$

Logo os pontos críticos são:

$x = 0 \\ \\ x = 1$

Para determinar os máximos e mínimos locais, faremos o estudo do sinal na derivada:

• Para valores menores do que zero, resulta em um valor negativo.
• Para valores entre zero e um, resulta em um valor positivo.
• Para valores maiores do que um, resulta em um valor positivo.

Em $x = 1$, função passa de crescente para crescente, logo não há máximo nem mínimo local.

Em $x = 0$, a função passa de decrescente para crescente, logo há um mínimo local no ponto (0,0).