Question

Pedro, feliz da vida com seu carro novo, anda pela estrada "Via Dois ao Paraíso" com uma velocidade constante v. Ele passou por um marco de quilometragem que mostrava um número de 2 algarismos (ab). Meia hora depois, passou por outro marco desses, que, por coincidência, mostrava o número formado pelos mesmos dois algarismos do marco anterior, porém, na ordem inversa (ba). Meia hora depois, o cúmulo da coincidência: ele passou por um marco de quilometragem que mostrava o número formado pelos mesmos algarismos que o primeiro marco, porém , com o algarismo 0 entre eles (a0b). Podemos concluir que a distância entre os marcos (ab) e (ba) é:(?)

Answer 1

Se o carro anda pela estrada a uma velocidade constante  v, então a cada meia hora, ele percorrerá a mesma distância.

Chamemos  x  a distância percorrida por este carro em meia hora. De acordo com as informações do enunciado,


"ba" – "ab" = x

"a0b" – "ba" = x


Logo,

"ba" – "ab" = "a0b" – "ba"


Como o nosso sistema de numeração é decimal,

o número  "ba"  é equivalente a  10b + a;

o número  "ab"  é equivalente a  10a + b;

o número  "a0b"  é equivalente a  100a + b;


e assim temos a seguinte equação:

10b + a – (10a + b) = 100a + b – (10b + a)

10b + a – 10a – b = 100a + b – 10b – a


Agrupando termos semelhantes,

a – 10a + 10b – b = 100a – a + b – 10b

– 9a + 9b = 99a – 9b

– 9a + 9b – 99a + 9b = 0

– 9a – 99a + 9b + 9b = 0

– 108a + 18b = 0


Colocando  18  em evidência,

18 · (– 6a + b) = 0

–6a + b = 0

b = 6a


Como  a  e  b  são algarismos,

a, b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

pela última equação, concluímos que  b  é um algarismo múltiplo de 6.


Logo, as possibilidades para o algarismo  b  são

b = 0    ou    b = 6


Mas se  b = 0, então

b = 6a

0 = 6a

a = 0

o que não satisfaz o nosso problema, pois  a = 0  não nos forneceria um número de dois algarismos para o marco  "ab", nem um número de três algarismos para o marco  "a0b".


Logo, devemos ter necessariamente,

b = 6        ✔


e assim, encontramos

b = 6a

6 = 6a

a = 1        ✔


Logo, os números mostrados nos marcos de quilometragem são:

16,  61  e  106.


A distância entre os marcos  "ab"  e  "ba"  é a distância entre os marcos das quilometragens  16  e  61, que é

x = 61 – 16 = 45 km    <———    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)