Question

De 100 a 1000, quantos são múltiplos de 2 OU 3?

Answer 1

O primeiro e último múltiplos de 2, de 100 a 1000, são, respectivamente, 100 e 1000. 

Imagine a sequência

$\left(100,~102,~104,~\dots,~1000\right)$

Ou seja, a sequência dos múltiplos de 2, de 100 a 1000.

Essa sequência é, também, uma P.A. 

Sabe-se que em toda P.A. 

$a_{n}=a_{1}+(n-1)r\hspace{180}(1)$

Seja a₁ = 100, a_{n} = 1000 e r = 2, têm-se: 

$1000=100+(n-1)2~\Rightarrow~n=\dfrac{1000-100}{2}+1~\Rightarrow~n=451$

Ou seja, há 451 múltiplos de 2, de 100 a 1000.

O primeiro e último múltiplos de 3, de 100 a 1000, são, respectivamente, 3·34 = 102 e 3·333 = 999. 

Imagine a sequência

$\left(102,~105,~108,~\dots,~999\right)$

Ou seja, a sequência dos múltiplos de 3, de 100 a 1000.

Essa sequência é, também, uma P.A. 

Portanto, de modo análogo ao que vimos em (1)

$999=102+(n-1)3~\Rightarrow~n=\dfrac{999-102}{3}+1~\Rightarrow~n=300$

Ou seja, há 300 múltiplos de 3, de 100 a 1000. 

Dentre o conjunto dos múltiplos de 2, de 100 a 1000, e o conjunto dos múltiplos de 3, de 100 a 1000, há elementos comuns aos dois, ou seja, se unirmos os conjuntos, precisaremos subtrair, em uma vez, a intersecção entre eles, pois, do contrário, estaríamos contando 2x a mais os elementos comuns aos dois.

Ex: De 4 a 24, há quantos múltiplos de 2 ou 3? 

Conjunto dos múltiplos de 2, de 4 a 24: 

A = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}, logo, 11 múltiplos.

Conjuntos dos múltiplos de 3, de 4 a 24: 

B = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}, logo, 7 múltiplos. 

Teríamos, então, 11 + 7 = 18 múltiplos de 2 ou 3, de 4 a 24? A resposta é não.

Seja C o conjunto dos múltiplos de 2 ou 3, de 4 a 24, têm-se

C = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24} = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Logo, 14 (≠ 18) múltiplos.

Mas, de 100 a 1000, quais são os múltiplos comuns de 2 e 3? 

Sejam a, b e q inteiros, com b ≠ 0, b|a (b divide a, ou a é múltiplo de b) se, e somente se, a = bq, para algum inteiro q. 

Logo, seja 6q um múltiplo de 6, têm-se

6q = 6q
6q = (2·3)·(q)
6q = 2·(3q) ⇒ 6q é múltiplo de 2.
6q = 3·(2q) ⇒ 6q é múltiplo de 3.

Ou seja, todo múltiplo de 6 é, também, múltiplo de 2 e 3, ao mesmo tempo.

O primeiro e último múltiplos de 6, de 100 a 1000, são, respectivamente, 6·17 = 102 e 6·166 = 996.

Imagine a sequência 

$\left(102,~108,~114,\dots,~996\right)$

Ou seja, a sequência dos múltiplos de 6, de 100 a 1000. 

Essa sequência é, também, uma P.A. 

De modo análogo ao que vimos anteriormente

$996=102+(n-1)6~\Rightarrow~n=\dfrac{996-102}{6}+1~\Rightarrow~n=150$

Ou seja, há 150 múltiplos de 6 (múltiplos de 2 e 3, ao mesmo tempo), de 100 a 1000. 

Logo, de 100 a 1000, há 451 + 300 - 150 = 751 - 150 = 601 múltiplos de 2 ou 3 (resposta).