Question

A profundidade de um rio na coordenada (x, y) é f(x,y)=200+0,005x²-0,002y³ onde x y e f são dados em metros. Considere que um pescador esteja no ponto de coordenada (40,20) e calcule a taxa de variação da profundidade se o pescador for na direção do vetor u ⃗ = (√2)/2 i+ (√2)/2 j. Assinale a alternativa que contém a variação aproximada da profundidade na direção de u ⃗ .

Answer 1

Olá,

Seja

F(x) = 200+0,05x^2-0,002y^3

A taxa de profundidade, é dado pela derivada direcional. Isto é, o gradiente de F(x) multiplicado pelo vetor unitário U.

Verificando esse vetor, veremos que U já é unitário. Desse modo, não há nescessidade de calcular o seu versor.

O gradiente da função F(x) é dado por,

Grad F(x) =dF(x)/dx i +dF(x)/dy j +dF(x)/dzk

Calculando um por um,

F(x) = 200+0,05x^2-0,002y^3

dF(x)/dx = 0 + 2(0,05x)-0

= 0,1x i
________________

F(x) = 200+0,05x^2-0,002y^3

dF(x)/dy = 0+0-3.(0,002y^2)

= -0,006y^2j
_________


F(x) = 200+0,05x^2-0,002y^3

dF(x)/dz = 0k

Logo, o gradiente tem apenas componentes i e j


= (0,1xi , -0,006y^2j)


Substituindo o ponto (40,20)

Grad F(40,20) = ( 4i , - 2,4j)

Sabemos que a taxa de profundidade é dado pelo:

Produdo escalar do gradiente • vetor unitário U


Onde,

U = √(2)/2i + √(2)/2 j

Logo,

VF(40,20) = (4i, -2,4j)•(√(2)/2i ,√(2)/2j

= 2√(2) - 1,2√(2)

= 1,13137085m

Ou aproximando,

~ 1,13m


Qualquer dúvida so comentar. Até a próxima