Question

A solução da equação de variáveis separáveis $4-xy+ \frac{dy}{dx} = x-4y,$ com $y(0)=3$, é:

$a) y=4 e^{ x^{2} -x} -1$

$b) y=5x+3$

$c) y=4 e^{ \frac{ x^{2} }{2}-4x } -1$

$d) y= 4 e^{ \frac{x}{2} -4} -1$

$e) y= 2e^{ x^{2} -4x} -5$

Questão original em anexo:

Answer 1

Vamos usar o fato de a equação ser separável:

$4-xy+\dfrac{dy}{dx}=x-4y\\\\ 4+4y+y'=x+xy\\\\ 4(1+y)+y'=x(1+y)\\\\ 4+\dfrac{y'}{1+y}=x\\\\ \dfrac{y'}{1+y}=x-4\\\\ \displaystyle\int\dfrac{dy}{1+y}=\displaystyle\int(x-4)dx\\\\ \ln(1+y)=\dfrac{x^2}{2}-4x+C~~(i)$

Usando agora a condição y(0)=3 em (i):

$\ln(1+y)=\dfrac{x^2}{2}-4x+C\\\\ \ln(1+3)=\dfrac{0^2}{2}-4\cdot0+C\\\\ \ln(4)=0+0+C\\\\ C=\ln4$

Substituindo o valor de C obtido acima na expressão (i):

$\ln(1+y)=\dfrac{x^2}{2}-4x+C\\\\ \ln(1+y)=\dfrac{x^2}{2}-4x+\ln4\\\\ 1+y=e^{\frac{x^2}{2}-4x+\ln4}\\\\ 1+y=e^{\frac{x^2}{2}-4x}\cdot e^{\ln4}\\\\ 1+y=e^{\frac{x^2}{2}-4x}\cdot 4\\\\ 1+y=4e^{\frac{x^2}{2}-4x}\\\\ \boxed{y=4e^{\frac{x^2}{2}-4x}-1}\Longrightarrow \text{Letra }\bold{C.}$