Question

Preciso de ajuda em resolver limites de uma função de duas variáveis em anexo em pdf

Answer 1

(a) Como não há indeterminação no limite, basta que substituamos na sua expressão os valores para os quais cada uma das variáveis se aproxima:

$L=\lim_{(x,y)\to(6,-9)}\left(\dfrac{81x^2+108xy+36y^2}{12y+4}\right)\\\\ L=\lim_{(x,y)\to(6,-9)}\left(\dfrac{(9x+6y)^2}{12y+4}\right)\\\\ L=\dfrac{(9\cdot6+6\cdot(-9))^2}{12\cdot(-9)+4}\\\\ L=\dfrac{(54-54)^2}{-108+4}\\\\ L=\dfrac{(0)^2}{-104}\\\\ L=0\\\\ \boxed{\lim_{(x,y)\to(6,-9)}\left(\dfrac{81x^2+108xy+36y^2}{12y+4}\right)=0}$

Portanto, a resposta é $\text{Letra }\bold{D}.$

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(b) Há uma indeterminação no limite. Desse modo, vamos tentar desenvolvê-lo para eliminá-la. Vamos fazer uma troca de variáveis. Seja $u=\sqrt{x+3}\Longrightarrow x=u^2-3$. Então, $u \to\sqrt3$ quando $x\to0$. Usando essa substituição no limite:

$L=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt3}{xy+x}\right)\\\\ L=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt3}{x(y+1)}\right)\\\\ L=\lim_{(u,y)\to(\sqrt3,0)} \left(\dfrac{u-\sqrt3}{(u^2-3)(y+1)}\right)\\\\ L=\lim_{(u,y)\to(\sqrt3,0)} \left(\dfrac{u-\sqrt3}{(u-\sqrt3)(u+\sqrt3)(y+1)}\right)\\\\ L=\lim_{(u,y)\to(\sqrt3,0)} \left(\dfrac{1}{(u+\sqrt3)(y+1)}\right)$

Veja que agora não há mais a indeterminação dentro do limite. Assim, podemos substituir diretamente os valore para os quais cada uma das variáveis tende:

$L=\lim_{(u,y)\to(\sqrt3,0)} \left(\dfrac{1}{(u+\sqrt3)(y+1)}\right)\\\\ L=\dfrac{1}{(\sqrt3+\sqrt3)(0+1)}\\\\ L=\dfrac{1}{(2\sqrt3)\cdot(1)}\\\\ L=\dfrac{1}{2\sqrt3}\\\\ \boxed{\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(\dfrac{\sqrt{x+3}-\sqrt3}{xy+x}\right)=\dfrac{1}{2\sqrt3}}$

Usando que $\sqrt3\approx1,7$, obtemos que $L\approx0,29$. Portanto o valor aproximado do limite é 0,3, $\text{Letra }\bold{A.}$

Answer 2

a)
$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(6,-9)}\frac{81x^2+108xy+36y^2}{12y+4}$
Calcular o limite da função tendendo a esse ponto:
$\displaystyle i)~~~~\lim_{(x,y)\to(6,-9)}-\frac{81x^2+108xy+36y^2}{12y+4}=-\frac{81\cdot36-108\cdot6\cdot9+36\cdot 81}{12\cdot-9+4}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-\frac{2916-5832+2916}{-108+4}=\frac{0}{104}=\boxed{0}$

b) 
$\displaystyle \lim_{ \left . {{x\to0} \atop {y\to0}} \right. }\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{xy+x}$
Calcular de cara:
$\displaystyle \lim_{ \left . {{x\to0} \atop {y\to0}} \right. }\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{xy+x} =\frac{\sqrt{0+3}-\sqrt3}{0+0}=\frac{0}{0}$
Caímos em uma indeterminação:
Regra dos dois caminhos:
Primeiro caminho: y = mx
$\displaystyle i)~~~~\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{mx^2+x}=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt3)'}{(mx^2+x)'}\\\\ii)~~~\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt3)'}{(mx^2+x)'}=\lim_{x\to0}\frac{1}{(4mx+2)\sqrt{x+3}}\\\\iii)~~\lim_{x\to0}\frac{1}{2}\frac{1}{2mx+1(\sqrt{x+3})}=\frac{1}{2}\frac{1}{0+\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt3}\approx\boxed{0,288}$

Segundo caminho: y=mx^2
$\displaystyle i)~~~~\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{mx^3+x}=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt3)'}{(mx^3+x)'}\\\\ii)~~~\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{x+3}-\sqrt3)'}{(mx^3+x)'}=\lim_{x\to0}\frac{1}{(6mx^2+2)\sqrt{x+3}}\\\\iii)~~\lim_{x\to0}\frac{1}{(6mx^2+2)\sqrt{x+3}}=\frac{1}{0+2\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt3}\approx\boxed{0,288}$

Logo a mais próxima é a letra D.

Note, a regra dos dois caminhos equivale à regra dos limites laterais, mas como não estamos mais tratando apenas de x, existe n maneiras de se aproximar do ponto onde a função tende ao limite. Se os caminhos são diferentes e o limite iguais, então existe limite. Caso não, não existe limite no ponto.

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