Question

calcule o momento de inércia de uma barra delgada de 2,5 kg e 75 centimetros de comprimento, em relação a um eixo perpendicular a ela passando:
a) por uma das extremidades
b) pelo seu centro

Answer 1

Teorema de Steiner:
$I_{z}=I_{cm}+md^2$
onde d é a distância entre o centro de massa e o eixo de rotação (paralelo ao do centro de massa)

1º calcular momento de inércia do centro.
$\displaystyle dI=x^2dm\implies I=\int x^2dm$
$\displaystyle i)~~~~I=\int x^2dm\\\\ii)~~~\lambda=\frac{dm}{dx}\\\\iii)~~\lambda dx=dm\\\\iv)~~I=\int x^2dm=\int\limits_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L} x^2\lambda dx\\\\v)~~~I=\lambda\int\limits_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L}x^2dx=\lambda\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-\frac{1}{2}L}^{\frac{1}{2}L}=\\\\vi)~~I=\frac{m}{L}\left(\frac{1}{3}\left(\frac{L}{2}\right)^3-\frac{1}{3}\left(-\frac{L}{2}\right)^30\right)=\frac{m}{3L}\left(\frac{L^3}{4}\right)\\\\vii)~I=\boxed{\frac{1}{12}mL^2}$
o resultado obtido acima é o momento de inércia em relação ao centro de massa de uma barra delgada.

a) Em relação a extremidade basta calcular com o teorema de Steiner.
$\displaystyle I_z=I_{cm}+md^2\\\\d=\frac{L}{2}\\\\I_{z}=I+m\left(\frac{L}{2}\right)^2\\\\i)~~~~I_z=\frac{1}{12}mL^2+m\frac{L^2}{4}\\\\ii)~~~I_z=\frac{12mL^2+4mL^2}{48}=\frac{16mL^2}{48}=\boxed{\frac{mL^2}{3}}$
substituindo os valores dos dados da questão:
$\displaystyle i)~~~~I_z=\frac{1}{3}mL^2\\\\ii)~~~I_z=\frac{1}{3}2,5~kg\cdot(0,75~m)^2\\\\iii)~~I_z=\frac{1}{3}2,5~kg\cdot 0,5625~m^2\\\\iv)~~I_z=\frac{1}{3}1,40625~kg\cdot m^2\\\\v)~~~I_z=\boxed{\boxed{0,46875~kg\cdot m^2}}$
O resultado acima é o momento de inércia em relação à extremidade da barra.

b) Pelo centro é o valor da integral obtida lá em cima:
$\displaystyle I=\int x^2dm=\frac{1}{12}mL^2$
que será:
$\displaystyle i)~~~~I=\frac{1}{12}mL^2\\\\ii)~~~I=\frac{1}{12}2,5~kg(0,75~m)^2\\\\iii)~~I=\frac{1}{12}2,5~kg\cdot0,5625~m^2\\\\iv)~~I=\frac{1}{12}1,40625~kg\cdot m^2\\\\v)~~~I=\boxed{\boxed{0,1171875~kg\cdot m^2}}$

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