Question

Como demonstrar que o vetor nulo é o único vetor comum entre dois subespaços ortogonais?

Answer 1

Tome um vetor $\vec v$, tal que $\vec v\in S$ e $\vec v\in S^{\perp}$, isto é, que pertença a um subespaço e a outro que seja ortogonal ao primeiro. A propriedade que define a ortogonalidade de subespaços é qualquer vetor de $S$ é ortogonal a qualquer vetor de $S^{\perp}$. Desse modo, o produto escalar de entre quaisquer vetores de $S$ e $S^{\perp}$ é nulo. Como v pertence aos dois conjuntos, podemos dizer:

$\vec v\cdot\vec v=0\\\\ ||v||^2=0$

Como a norma de v é 0, temos, necessariamente, que $\vec v=\vec 0$, isto é, que v é o vetor nulo. $\blacksquare$