Question

Determine o domínio da função f(x) = raiz de (x^4+x^2+3)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jeesga, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar o domínio da seguinte função:

f(x) = √(x⁴ + x² + 3)

Veja: no âmbito dos conjunto dos Reais, radicais de índice par só aceitam radicandos (o que está dentro do radical) que sejam maiores ou iguais a zero. Então vamos impor que o radicando (x⁴+x²+3) seja maior ou igual a zero. Assim, teremos:

x⁴ + x² + 3 ≥ 0 ----- veja que x⁴ = (x²)². Assim, substituindo, teremos:
(x²)² + x² + 3 = 0 ----- vamos fazer x² = y. Com isso, ficaremos assim:
(y)² + y + 3 = 0 --- ou apenas:
y² + y + 3 = 0 ----- note: que o delta (Δ) desta equação é menor do que zero, ou seja, temos que:

Δ = b² - 4ac ----- substituindo-se, teremos;
Δ = 1² - 4*1*3
Δ = 1 - 12
Δ = - 11 <---- Note: como o delta é negativo, então a equação em "y" acima não terá raízes reais, mas apenas raízes complexas.

Quando isso ocorre você vai ver qual é o sinal do termo "a" (o termo "a" em equações do 2º grau é o coeficiente de x²; no caso da nossa equação é o coeficiente de y²). Verificando isso, então você terá duas probabilidades:

i) Se o termo "a" for negativo (< 0), então a equação será SEMPRE negativa para todo e qualquer valor de "x".

ii) Se o termo "a" for positivo (> 0), então a equação será SEMPRE positiva para todo e qualquer valor de "x".

iii) Como o termo "a" da sua equação é positivo, pois já vimos que ela é: y²+y+3 = 0), então já sabemos que a equação originalmente dada, que era esta: f(x) = √(x⁴ + x² + 3), será sempre positiva para todo e qualquer valor de "x".

Assim, como a função f(x) será sempre positiva para qualquer que seja o valor de "x", então o domínio (D) dessa função serão todos os Reais, o que você poderá apresentar assim:

D = {x ∈ R} ------- Esta é a resposta. Este é o domínio pedido.

Se quiser, o domínio (D) também poderá ser apresentado da seguinte forma, o que dá no mesmo:

D = (-∞; +∞) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.