Question

1. A função F(x)=sen x-lnx possui uma raiz real positiva no intervalo:
a. I [0, 1]
b. I [1, 2]
c. I [2, 3]
d. I [3, 4]
e. I [4, 5]

Answer 1

$\sin(x)$ é definida para todo número real.
Porém $\ln x$ está definido para $0  \leq  x\implies \ln x\,\exists\forall x\in\mathbb{R^+}~|~x \neq 0$
Note que:
$\ln1=0$
Vamos analisar o sinal da função:
sabemos que seno oscila entre -1 a 1 no intervalo $\displaystyle \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)=(4.71238,1.5707)$
e a função logaritmo sempre é igual ou maior que 0.


Passos para descobrir raiz real de uma função:
1) Tabelar valores de f(x) para descobrir onde ela muda de sinal:
$\displaystyle f(x)=\sin(x)-\ln(x)\implies f(x)=g(x)-h(x)$

valores de g(x):
$\displaystyle g(x)=\sin(x)\\\\\bullet\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=1\\\\\bullet\sin(-\pi)=0\\\\\bullet\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\\\\\bullet\sin\left(0\right)=0\\\\\bullet\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\\\\\bullet\sin(\pi)=0\\\\\bullet\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1\\\\\bullet\sin(2\pi)=0$

valores de h(x) para o intervalo tabelado acima:
$\displaystyle h(x)=-\ln x\\\\\bullet\ln\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=\nexists\\\\\bullet\ln(-\pi)=\nexists\\\\\bullet\ln\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\nexists\\\\\bullet-\ln\left(0\right)=-1\\\\\bullet-\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)=-0,45158270528945486472619522989488\\\\\bullet-\ln(\pi)=-1,1447298858494001741434273513531\\\\\bullet-\ln\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-4,7123889803846898576939650749193\\\\\bullet-\ln(2\pi)=-1,8378770664093454835606594728112$

vamos testando pra ver onde a função muda de sinal. Note que ela não é definida antes do 0, logo não faz sentido trabalharmos com valores abaixo de 0 para o seno. começaremos do 0.
$\displaystyle i)~~~~f(0)=\sin(0)-\ln(0)=\nexists\\\\ii)~~~f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\ln\left(\frac{\pi}{2}\right)=1-0,45158...\approx0,55\\\\iii)~~f(\pi)=\sin(\pi)-\ln(\pi)=0-1,145\approx-1,145$
OPA!! Percebeu que a função trocou de sinal? Logo sabemos que existe uma raiz no intervalo $\left[\frac{\pi}{2}, \pi \right]$
Então podemos testar a alternativa C para comprovar:
$\displaystyle i)~~~~f(2)=\sin(2)-\ln(2)\approx0,9-0,7=0,2\\\\ii)~~~f(3)=\sin(3)-\ln(3)\approx 0,14-1,1=-0,96$
BINGO! temos uma raiz no intervalo [2,3].
A raiz é onde a função intercepta o eixo x, ou seja, quando passamos por uma raiz a função muda seu sinal. Observe a imagem abaixo da função grafada. 
Alternativa C

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