Question

Alguém me da a resolução completa desse limite?

raiz de 1+x - raiz de 1-x/x lim 0

Answer 1

Olá

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$\displaystyle \lim_{x \to 0} ~ ~\frac{ \sqrt{1+x} - \sqrt{1-x} }{x} ~=~ \frac{0}{0} ~~\text{O limite resulta em uma indeterminacao} \\ \\ \\ \text{Primeira coisa a se fazer e retirar as raizes do numerador, para isso}\\\text{basta multiplicar pelo conjugado} \\ \\ \\ \lim_{x \to 0} ~ ~\frac{ \sqrt{1+x} - \sqrt{1-x} }{x} ~~\cdot~~ \frac{ \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} }{ \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} } \\ \\ \\ \lim_{x \to 0} ~ ~\frac{ (\sqrt{1+x})^2 - (\sqrt{1-x})^2 }{x( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} )}$

cancela as raízes com os expoentes

$\displaystyle \lim_{x \to 0} ~ ~\frac{ (1+x) - (1-x) }{x( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} )} \\ \\ \\ \text{Faz a distributiva do sinal no numerador} \\ \\ \\ \lim_{x \to 0} ~ ~\frac{ 1+x - 1+x }{x( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} )} \\ \\ \\ \text{Agrupa os termos em comum} \\ \\ \\ \lim_{x \to 0} ~ ~\frac{ 2x }{x( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} )} \\ \\ \\ \text{Poe o X em evidencia no numerador, para que possamos simplificar}$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} ~ ~\frac{x (2) }{x( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} )} \\ \\ \\ \text{Simplifica} \\ \\ \\ \lim_{x \to 0} ~ ~\frac{\diagup\!\!\!\!x (2) }{\diagup\!\!\!\!x( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} )} \\ \\ \\ \lim_{x \to 0} ~ ~\frac{ 2 }{ \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} } \\ \\ \\ \text{Vamos substituir o valor do X para ver se continua dando uma}\\\text{indeterminacao}$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} ~ ~\frac{2 }{ \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}= \frac{2}{ \sqrt{1+0}+ \sqrt{1+0} } = \frac{2}{ \sqrt{1} + \sqrt{1} } = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} \\ \\ \boxed{=1}$