Question

aforça a que uma particula esta submetida aponta ao longo de um eixo x e é dada por F= F0(X/X0 - 1) Determine o trabalho realizado pela força ao mover a partícula de x= 0 a x= 2X0

Answer 1

$\displaystyle \vec{F}=F_0\frac{x}{x_0-1}\hat{r}$
O trabalho é calculado como o produto escalar da trajetória descrita por uma partícula do ponto inicial até o final. Podemos calculá-lo seguindo os passos:
$W=\vec{F}\cdot \vec{s}$
Trabalho é o produto escalar entre a força e sua trajetória descrita, portanto:
$dW=\vec{F}\cdot d\vec{s}$
para um trabalho infinitesimal, teremos um escalar entre a força e a distância infinitesimal percorrida:
$\boxed{W=\int\limits_{x'_0}^{x'}\vec{F}\cdot d\vec{s}}\text{ : formula do trabalho para o caso unidimensional}$
note que:
$\displaystyle d\vec{s}=dx~\hat{i}+dy~\vec{j}+dz~\hat{k}$
mas como a questão se trata de uma dimensão:
$\displaystyle d\vec{s}=x~\hat{i}$

Para resolve-lá seguimos os passos:
$\displaystyle i)~~~~W=\int\limits_{0}^{2x_0}\vec{F}\cdot d\vec{s}\\\\ii)~~~W=\int\limits_{0}^{2x_0}F_0\frac{x}{x_0-1}dx\\\\iii)~~W=\frac{F_0}{x_0-1}\int\limits_{0}^{2x_0}xdx\\\\iv)~~~W=\frac{F_0}{x_0-1}\left[\frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{2x_0}\\\\v)~~~~W=\frac{F_0}{x_0-1}\left(\frac{1}{2}4x_0^2-0\right)=\frac{F_0}{x_0-1}2x_0^2=\boxed{\frac{2x_0^2F_0}{x_0-1}}$

NUNCA CONFUNDA:
$\displaystyle \int\limits_{t'_0}^{t'}\vec{F}\cdot dt~~~\text{com:}~~~\int\limits_{x'_0}^{x'}\vec{F}\cdot d\vec{s}\\\\\text{a primeira integral e o impulso, area do grafico da forca em funcao}\\\text{do tempo. Ela e a variacao do momento. A segunda e o trabalho.}$

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