Question

Sabendo que o vetor = (2, 1, –1) forma um ângulo de 60º com o vetor determinado pelos pontos P(3, 1, –2) e Q(4, 0, m), calcular o valor de m.

Answer 1

Inicialmente, vamos encontrar o vetor determinado pelos pontos P e Q:

$\overrightarrow{PQ} = Q-P\\\\ \overrightarrow{PQ} = (4,0,m)-(3,1,-2)\\\\ \overrightarrow{PQ} = (1,-1,m+2)$

Para utilizarmos o dado de que o ângulo entre os vetores é 60º, podemos aplicar a seguinte fórmula:

$\boxed{\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{u}||||\vec{v}||}}$

Onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

Então:

$\cos(60^o) = \dfrac{(2,1,-1)\cdot(1,-1,m+2)}{||(2,1,-1)||||(1,-1,m+2)||}\\\\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{2\cdot1+1\cdot(-1)+(-1)\cdot(m+2)}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2+(m+2)^2}}\\\\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{2-1-(m+2)}{\sqrt{4+1+1}\cdot\sqrt{1+1+(m+2)^2}}\\\\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{-1-m}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{2+(m+2)^2}}\\\\ \sqrt{6}\cdot\sqrt{2+(m+2)^2} = 2(-1-m)~~~(i)$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$(\sqrt{6}\cdot\sqrt{2+(m+2)^2})^2 = (2(-1-m))^2\\\\ (6\cdot(2+(m+2)^2)) = 4\cdot(-1-m)^2\\\\ 6\cdot(2+m^2+4m+4) = 4\cdot(1+2m+m^2)\\\\ 12+6m^2+24m+24 = 4+8m+4m^2\\\\ 2m^2+16m+32 = 0\\\\ m^2+8m+16 = 0\\\\ (m+4)^2\Longrightarrow \boxed{m=-4}$

Como elevamos a expressão (i) ao quadrado, devemos testar a solução encontrada para m para verificarmos sua validade. Vê-se que, de fato, é solução da equação.

Portanto, o valor de m é -4.

Answer 2

Bom dia

u = (2, 1, -1)

P = (3, 1, -2) 
Q = (4, 0, m)

v = Q - P = (1, -1, m + 2) 

lul = √(2² + 1² + 1²) = √6 
lvl = √(1² + 1² + (m + 2)²) = √(m² + 4 m + 6)

produto escalar 

< u,v > = (2 - 1 - m - 2) = -1 - m 

cos(60) = < u.v > / lullvl

1/2 = (-1 - m)/(√6 * √(m² + 4m + 6)) 

m = -4