Question

(Ufsc) Um corpo parte do repouso deslizando do topo de um plano inclinado, de uma altura de 2,7m em relação ao plano horizontal (veja figura a seguir). Devido ao atrito, ele perde 1/3 de sua energia mecânica inicial, no percurso do tipo até a base do plano inclinado. Calcule, então, a velocidade, em m/s, com que o corpo chega a base.

Answer 1

Pelo teorema da conservação de energia mecânica, dizemos que:
$E=E_c+E_{p}$
onde
$E=\text{Energia}\\E_c=\text{Energia Cinetica}\\E_p=\text{Energia Potencial}\\\text{tal que:}\\\Delta E=\Delta E_c+\Delta E_p=0$

O corpo foi levantado até a altura de $\boxed{2,7m}$ e com o atrito, perdeu 1/3 de sua energia:
$\displaystyle E=\frac{1}{3}E\\\\E_0=E\\E_f=3E=3E_0\\\\\bullet E_0=\text{Energia inicial}\\\bullet E{_f}=\text{Energia final}$

Tendo em mente que:
$\displaystyle \text{Energia Potencial Gravitacional}=E_{pg}=mgz\\\bullet m=\text{massa}=kg\\\bullet g=\text{gravidade}=m/s^2\\\bullet z=\text{altura em relacao ao solo}=m\\\\\text{Energia Cinetica}=E_c=\frac{1}{2}mv^2\\\\\bullet m=\text{massa}=kg\\\bullet v=\text{velocidade}=m/s$
Calculamos a energia inicial do sistema.

I) Note que no instante 0, a caixa está parada (velocidade = 0), então já sabemos que a energia cinética é nula:
$\boxed{E_{c0}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m0^2=0J}$

II) Calcular energia potencial gravitacional no instante 0:
$\displaystyle i)~~~~E_{pg}=mgz~~~~~~~~g=9,8m/s^2~~~~~~~z=2,7m\\\\ii)~~~\boxed{E_{pg}=m\cdot9,8\cdot2,7J}$

Sabemos que:
$E_0-E_f=0\implies E_0=E_f$
(Energia inicial do sistema é igual a energia final)

Lembra que lá atrás encontramos a seguinte relação:
$\displaystyle E_f=\frac{1}{3}E$
Ela se encaixa com a conservação de energia, a justificativa para ter sumido 1/3 de energia, é que esta foi dissipada na forma de energia térmica, som (por causa do atrito). Calculando:
$\displaystyle E=0J+\frac{1}{3}\implies 9,8\cdot 2,7\cdot m~J=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}mv^2+m\cdot 9,8\cdot0\right)\\\\i)~~~~9,8\cdot 2,7\cdot m~J=\frac{1}{3}m\left(\frac{1}{2}v^2\right)\\\\ii)~~~9,8\cdot 2,7~m^2/s^2=\frac{m}{6m}v^2\\\\iii)~~v^2=6\cdot(9,8\cdot2,7)m^2/s^2\\\\iv)~~~v=\sqrt{6\cdot 9,8\cdot 2,7\frac{m^2}{s^2}}\\\\v)~~~~v=\sqrt{158,76}\frac{\sqrt{m^2}}{\sqrt{s^2}}\\\\vi)~\boxed{\boxed{v=12,6m/s}}$
Descobrimos que a velocidade no instante final é de 12,6 m/s.

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