Question

Estudando divisibilidade com alguns colegas, um aluno do CMRJ criou, para ser resolvido pelo grupo, um exercício novo, parecido com o que ele vira em outro livro didático: escreveu uma expressão numérica e, em seguida, substituiu o algarismo das unidades de um dos numerais da expressão pela letra a, fazendo com que ela ficasse a assim: 1 25a×26 937 + 2 658; impôs que o resto da divisão do resultado dessa expressão por 5 fosse 1. Considerando essas condições, o aluno pediu para que os colegas calculassem o menor valor possível que poderia ser atribuído ao algarismo representado pela letra a. Podemos garantir que esse menor valor possível é:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 7
e) 8

Answer 1

O critério que ele quer é que a divisão do número por 5 sobre 1. Dessa forma, o número tem que terminar em 1 ou 6. Pois o critério de divisibilidade por 5 é o numero terminar em 0 ou 5. Dessa forma, terminando em 1 ou 6 ele vai sobrar 1 na divisão por 5.

Analisando a conta de multiplicação, precisamos olhar apenas os últimos dígitos:

$125\alpha*26937 + 2658 = K_{n}K_{n-1}...K_{2}K_{1}K_{0}$


De modo que K0 sendo o último digito tem que ser um número tal que somado com o último digito de 2658 dê um número que o último algarismo seja 1 ou 6.

Fazendo:

$1254*26937 + 2658 = K_{n}K_{n-1}...K_{2}K_{1}6$

Sendo assim, como termina em 6, é divisível por 5 e tem resto 1.

Logo, $\alpha = 4.$